Hay ejemplos que sabemos que un número es un número racional, pero no sabemos cuál es su numerador y el denominador?

Question

Hay ejemplos que sabemos que un número es un número racional, pero no sabemos cuál es su numerador y el denominador?

Para decir claramente, este número debe determinado por una fórmula que, como $\sum_{i=1}^\infty f(n)$ (o $\int_0^\infty f(x)dx$)donde $f(n)$ es una cierta función, con lo que podemos calcular el $f(n)$ para cualquier número entero $n$ (o número real $x$). Por tanto, debemos evitar las respuestas como "el menos aún entero$N$, lo que hace que la conjetura de Goldbach no es verdad" o "la edad de cuando me case".

Gracias de antemano!

Answer 1

Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb Q$ (algebraica) rango de $0$. Deje $L(E,s)$ ser asociado de $L$-función. A continuación, la cantidad de $L(E,1)/\Omega_E$ donde $\Omega_E$ es el período de $E$, es conocido por ser racional, incluso si no sabemos su numerador y denominador.

Answer 2

Tomar cualquier máquina de Turing $M$, y deje $h_M$ $\frac{1}{N}$ fib $M$ se detiene después de exactamente $N$ pasos, y deje $h_M := 0$ si $M$ nunca se detiene. Está claro que $h_M$ es un número racional, dado $M$, se puede calcular el $h_M$ como un número real (es decir, de encontrar mejores y mejores aproximaciones a ella), pero no existe un procedimiento general para escribir $h_M$ como un cociente de números naturales (porque eso significaría que la resolución de la suspensión problema).

Edit: debo señalar que hay un topológica de la contraparte a este argumento, a saber, la observación de que el $id : \mathbb{Q}_e \to \mathbb{Q}_d$ es discontinuo, donde $\mathbb{Q}_e$ son los racionales con el subespacio de la topología heredada de $\mathbb{R}$, mientras que $\mathbb{Q}_d$ son los racionales con la topología discreta.