Hay una representación de un producto interior donde monomials son ortogonales?

Question

Hay un montón de ejemplos de interior de productos en secuencias especiales de polinomios tales que son ortogonales. Yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de la interna de los productos.t. monomials son ortogonales. Decir que hemos polinomios definidos en la unidad de intervalo de $[0, 1]$. Podemos definir un producto interior diciendo: $$\langle x^m, x^n\rangle = \delta_{mn}$$ Este luego se extiende a través de la linealidad a un interior completo de productos en el conjunto de todos los polinomios en $[0,1]$.

Yo no puedo ver cómo esto producto interior puede ser representado con respecto a Lesbesgue medir sin embargo. Si hubo un $h$ s.t. $$\langle f, g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)h(x)dx$$ entonces $$\langle x^m, x^n\rangle = \int_0^1 x^mx^nh(x)dx = \langle x^{m+n}, 1\rangle$$ que no puede satisfacer la ortogonalidad de los requisitos.

Mi pregunta entonces es, ¿existe una medida (tal vez un discreto), donde este producto interior tiene una representación wrt? (o incluso sólo una fórmula de algún tipo para que sea menos abstracto).

Answer 1

Si tal medida existía, entonces su argumento se sigue que $$0 = \langle x^3, x^1 \rangle = \langle x^4,1 \rangle = \langle x^2 , x^2 \rangle = 1$$, que es una contradicción. Por lo tanto, dicha medida no puede existir.

Answer 2

Tal medida no existe. Polinomios que son ortogonales con respecto a una medida positiva (necesita una medida positiva para obtener un producto interior), debe tener simple raíces en el interior del soporte de la medida (ver por ejemplo este hilo).

Sin embargo, hay una fórmula simple para su producto interior : si $P = \sum_{n \ge 0} a_n X^n$$Q = \sum_{n \ge 0} b_n X^x$, luego

$$\left\langle P,Q \right\rangle = \sum_{n \ge 0} a_n b_n$$