Ecuación $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2013}$ en racionales

Question

¿Podemos encontrar todos los números racionales $x,y$ tal que $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2013}$ ?

Algunas respuestas posibles son $(2013,0)$ y $(0,2013)$ .

Si elevamos la ecuación al cuadrado, obtenemos $x+y+2\sqrt{xy}=2013$ Así que $\sqrt{xy}$ debe ser racional.

Answer 1

Si $x\neq 0$ entonces $x,\sqrt{xy},y$ forman una progresión geométrica, por lo que podemos escribir $y=xq^2$ y $q$ es racional.

$x+y+2\sqrt{xy} = 2013$

$x + xq^2+2xq = x(q+1)^2=2013$

$x= \frac{2013}{(q+1)^2}, y=xq^2, q\in \mathbb Q^+\cup\{0\}$

si $x=0$ entonces $y = 2013$ .

Answer 2

$$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a\iff\sqrt\frac xa+\sqrt\frac ya=1\iff\sqrt\frac xa=1-\sqrt\frac ya\iff\frac xa=1+\frac ya-2\sqrt\frac ya$$ $$\sqrt\frac ya=\frac{1+\frac ya-\frac xa}2\in\mathbb{Q}\iff y=a\cdot\left(\frac mn\right)^2$$ ¿Puede continuar? :-)

Answer 3

Restar $x + y$ de ambos lados y la cuadratura hace que el problema sea equivalente a "encontrar puntos racionales en un círculo". $$4xy = 2013^2 + x^2 + y^2 - 4026x - 4026y - 2xy$$ $$x^2 + y^2 - 2xy - 4026x - 4026y = 2013^2$$

Girar 45 grados y escalar $\sqrt{2}$ sustituir $x' = x - y, \ y' = x + y$ . Esto no cambia si un punto es racional.

Esto te da un círculo, creo (se calculará cuando no esté en el teléfono). A partir de ahí debería ser posible utilizar los puntos radicales en el círculo unitario?

EDIT: Ack, es una parábola. Bueno, ¿quizás esa también sea una forma manejable?

$$x^2 - 4026y = 2013^2$$