Demostrar que $\frac{100!}{50!\cdot2^{50}} \in \Bbb{Z}$

Question

Estoy tratando de probar que :

$$\frac{100!}{50!\cdot2^{50}}$$

es un número entero .

Por el momento hice lo siguiente :

$$\frac{100!}{50!\cdot2^{50}} = \frac{51 \cdot 52 \cdots 99 \cdot 100}{2^{50}}$$

Pero aún no acaba de funcionar .

Sugerencias de nadie ?

Gracias

Answer 1

$$ \frac{(2n)!}{n! 2^{n}} = \frac{\prod\limits_{k=1}^{2n} k}{\prod\limits_{k=1}^{n} (2k)} = \prod_{k=1}^{n} (2k-1) \in \Bbb{Z}. $$

Answer 2

Tenemos $100$ a la gente en una clase de baile. De cuántas maneras existen para dividir en $50$ parejas de danza de $2$ personas cada uno de ellos? (Por supuesto, vamos a prestar atención a cuestiones de género.)

Claramente no es un número entero número de maneras. Que nos permiten contar las maneras.

Vamos a resolver primero un diferente problema. Esta es una clase de tango. De cuántas maneras existen para dividir a los $100$ a la gente en parejas de danza, de una persona a ser llamado el líder y el otro el seguidor?

La línea de la gente. Hay $100!$ maneras de hacer esto. Ahora ve hacia abajo de la línea, el emparejamiento $1$ y $2$ y llamando a $1$ el líder, el emparejamiento $3$ y $4$ y llamando a $3$ el líder, y así sucesivamente.

Obtenemos cada líder-seguidor de la división en $50!$ maneras, ya que los grupos de $2 dólares pueden ser permutados. Así que hay $\dfrac{100!}{50!}$ maneras de dividir a la gente en $50$ líder-seguidor de los pares de bailar el tango.

Ahora resolver el problema original. Simplemente contar el número de democrático pares, tenga en cuenta que si se intercambian el líder/seguidor etiquetas produce el mismo par de la división. Así que cada democrática de emparejamiento da lugar a $2^{50}$ líder/seguidor de emparejamientos. De ello se desprende que hay $\dfrac{100!}{2^{50}\cdot 50!}$ democrática emparejamientos.

Answer 3

Combinatoria argumento:

El número de maneras de organizar los dígitos $1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,\ldots, 50,50$ en una fila es $\frac{100!}{2^{50}}$.

Esto es claramente un múltiplo de $50!$, ya que podemos realizar cualquiera de los $50!$ permutaciones en el set de 50 elementos.

Answer 4

A $100!=(1\cdot 3\cdot 5\cdots 99)\cdot (2\cdot 4\cdot 6\cdots 100),$$

$$(2\cdot 4\cdot 6\cdots 100)=2^{50}(1\cdot 2\cdot 3\cdots 50)=2^{50}50!$$

Answer 5

Demostrar $51\cdot 52\cdots 100$ es divisible por $2^{50}$. Sugerencia: Contar cuántos múltiplos de 2, 4, 8... no se encuentran en la antigua expresión.