¿Por qué no convergen las series si el límite de la secuencia es 0?

Question

Sólo pensándolo en términos de lógica, ¿no debería la serie de una secuencia cuyo límite como $n$ se acerca al infinito es 0 convergen?

Sé que el $n$ La prueba de divergencia dice que si una serie es convergente, entonces el límite de su secuencia es 0 y también sé que hay algunas secuencias para las que se ha "probado" que su serie no converge aunque la secuencia converja a 0, pero no creo en estas pruebas. Si estiramos $n$ hasta el infinito y los términos se acercan a 0, entonces ¿cómo es posible que la suma de los términos se "desborde" y difiera si los términos se están volviendo insignificantes?

Answer 1

Un contraejemplo muy fácil sería $$ 1, \underbrace{\frac12, \frac12}_{2\text{ halves}}, \underbrace{\frac13, \frac13, \frac13}_{3\text{ thirds}}, \underbrace{\frac14, \frac14, \frac14, \frac14}_{4\text{ fourths}}, \underbrace{\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15}_{5\text{ fifths}}, \ldots $$ Esta secuencia converge claramente a $0$ pero si tratas de sumarla, debería ser obvio que tiene sumas parciales tan grandes como te gustaría que fueran -- así que la serie diverge .

Prueba cualquier argumento que tengas en mente para creer que la serie debería converger y tratar de averiguar por qué no funciona para este.

Answer 2

¿Cree que la serie

$$1+\frac12+\frac12 + \frac14+\frac14+\frac14+\frac14 + \frac18 + \cdots$$

¿converge? Tenga en cuenta que hay $2$ términos iguales a $\frac12$ , $4$ términos iguales a $\frac14$ , $8$ términos iguales a $\frac18$ y así sucesivamente, con $2^i$ términos iguales a $\frac{1}{2^i}$ para cada $i\in\mathbb N$ .

Seguramente estarás de acuerdo en que esta serie es divergente. De hecho, si me das un número $m\in \mathbb N$ Puedo calcular exactamente cuántos términos de la serie hay que sumar para que la suma alcance $m$ .

Por ejemplo, se necesita $1$ plazo para alcanzar $1$ , se necesita $1+2=3$ términos para alcanzar $2$ y luego $1+2+4=7$ términos para alcanzar $3$ . Puedes demostrar, con un simple argumento inductivo, que llegarás a $m$ después de

$$1+2+4+\dots + 2^{m-1}$$

términos, que en realidad es igual a $2^m-1$ y es ciertamente un número finito.

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Es bueno entender el concepto por el que esta serie diverge. La cuestión es que sí, los términos van a $0$ pero no lo hacen "lo suficientemente rápido". El problema es que una vez que los términos golpean $\frac14$ Se mantienen en ese número durante $4$ pasos, el tiempo suficiente para que la suma aumente en $1$ .

E imagínate lo que ocurre más adelante. La suma es igual a $\frac{1}{1024}$ para todo un $1024$ términos, por ejemplo. Claro que sí. finalmente caer a un número aún más bajo, pero se mantendrá en ese número durante incluso más tiempo , de nuevo el tiempo suficiente para que la suma total aumente en $1$ .

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Dato adicional: la serie que escribí al principio tiene la propiedad adicional de que cada término de la secuencia es mayor que el término correspondiente de la secuencia

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$

que también se conoce como serie armónica y es la serie divergente más famosa. Así, ahora se ve que si se suma $2^m$ términos de la serie armónica, su suma será igual a al menos $m$ (y más, de hecho).

Answer 3

Sin embargo, hay que tener en cuenta que en el ámbito de la $p$ -número de radicales $\mathbf Q_p$ una serie $\sum_na_n$ converge si y sólo si la secuencia $(a_n)$ tiende a $0$ .

Answer 4

Se está haciendo eco de un 2-milenios de edad quesite: ¿Aquiles superará a la Tortuga? y
si Aquiles se desacelera,.. . La convergencia/divergencia de las secuencias y series infinitas tardó mucho tiempo en ser dominada de alguna manera, también porque estaba claro que el resultado de sumar muchos términos pequeños dependía de cuántos contra. lo pequeño que es .
Sólo hay que tener en cuenta Proyección estereográfica y los debates filosóficos que suscita.

Answer 5

Sólo hay que ver el problema desde el otro extremo.

Tome una función como $f(x) = \sqrt{x}$ o $\log x$ - crecen infinitamente con el $x$ crecimiento, aunque su ratio de crecimiento disminuye (sus primeras derivadas tienden a cero).

Considere los incrementos de la función para los pasos iguales del argumento, digamos, para los argumentos naturales: $$\Delta f = f(n+1) - f(n)\quad \text{ for } n\in\mathbb N^+$$ Como el $f$ función crece cada vez más lento, estos deltas se hacen cada vez más pequeños para crecer $n$ y, de hecho, tienden a cero: para un valor arbitrariamente pequeño $\varepsilon > 0$ existe $n$ lo suficientemente grande, para lo cual $\Delta f < \varepsilon$ .

Ahora $\Delta f$ define una secuencia convergente a cero, cuyas sumas parciales son valores de $\sqrt n$ , que es una función que crece sin límite, por lo tanto una serie divergente.