¿Si la suma y el producto de dos secuencias converge a cero, significa que cada secuencia converge a cero?

Question

¿Si la suma y el producto de dos secuencias converge a cero, significa que cada secuencia converge a cero?

Gracias

Answer 1

(Llenar en los detalles.)

1. Demostrar eso si $|a_n + b_n | \leq \epsilon$ y $|a_n b_n | \leq \epsilon^2$ y $|a_n - b_n| \leq \sqrt{5} \epsilon$.
   Utilice el hecho de que $(a_n - b_n)^2 = (a_n+b_n)^2 - 4 a_n b_n$.

2. Por lo tanto, concluir que $|a_n| \leq \frac{1 + \sqrt{5} }{2} \epsilon$.

Answer 2

Let $a_n+b_n=:s_n$, $\ a_n b_n=:p_n$. Entonces $a_n$, $b_n$ son las dos soluciones de la ecuación cuadrática $x^2-s_n x+p_n=0$. Sigue %#% $ #%

Answer 3

Contradicción de $ $$a_n \not\to 0\quad \Longrightarrow \quad\exists\varepsilon>0, \exists n_k\ (n_k<n_{k+1}),\ |a_{n_k}| > \varepsilon \quad \Longrightarrow \quad b_{n_k} = \frac{a_{n_k}b_{n_k}}{a_{n_k}} \to 0,\ k \to \infty \quad \Longrightarrow \quad a_{n_k} = (a_{n_k}+b_{n_k}) - b_{n_k} \to 0,\ k \to \infty.$.

AÑADIDO.
Segundo solución. Si $a_nb_n \to 0$ y $a_n\overline{b_n} \to 0$ y $\overline{a_n}b_n \to 0$. Por lo tanto, $$|a_n|^2+|b_n|^2 = (a_n+b_n)(\overline{a_n+b_n}) - a_n\overline{b_n} - \overline{a_n}b_n \to 0.$ $

Answer 4

Que $(a_n),(b_n)$ ser tus secuencias. A continuación, $a_n+b_n,a_nb_n\to0$, que $(a_n+b_n)^2-2a_nb_n=a_n^2+b_n^2\to0$. Desde $0\leq a_n^2,b_n^2\leq a_n^2+b_n^2$, se deduce que ambos % convergen $a_n^2$y $b_n^2$ $0$, para que suceda lo mismo a $a_n$ y $b_n$.