¿Implica la continuidad uniforme de $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ también es uniformemente continuo, cuando $A \subset X$?

Question

Me he estado preparando para el prelim en agosto, y estaba trabajando en un problema que implica uniforme de la continuidad y la restricción de funciones. Yo distraídamente asumió el anterior considerando el contrapositivo: si $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ no es uniformemente continua, que implica la $\exists \ \epsilon$ de manera tal que no $\delta$ satisface $d(x,y) < \delta \implies d(f(x),f(y)) < \epsilon, \,\,\ \forall x,y \in A$, y este fracaso de la $\epsilon$'s de la existencia no se debe cambiar cuando me "añadir más puntos" considerando los $f: X \rightarrow \mathbb{R}.$

Sin embargo, si esto es cierto, hemos obtenido una gran cantidad de resultados que yo considero que es extrañamente poderoso. Por ejemplo, si una función es continua en $\mathbb{R}$, es uniformemente continua en cualquier intervalo acotado I, como es uniformemente continua en a $\overline{I}$ que es compacto por Heine-Borel. Por lo tanto, si $f$ es un valor real de función continua en un subconjunto $A$$R$, es uniformemente continua en cualquier subconjunto acotado $X$$A$.

Conclusiones tales como que esto no parezca demasiado fuerte! Hay un error en mi razonamiento, y si es así, ¿dónde está?

Answer 1

Es cierto, y su conclusión de que cada continuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es uniformemente continua en subconjuntos acotados de $\mathbb{R}$ también es correcta.

Uno podía ir más lejos en decir exactamente por qué es cierto, lo que podría ayudar a convencer a usted. Supongamos $f:X\to \mathbb{R}$ es uniformemente continua y $A\subset X$. Dado $\varepsilon>0$, por el uniforme de la continuidad de la $f$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x,y\in X$, $d(x,y)<\delta$ implica $d(f(x),f(y))<\varepsilon$. Ahora bien, este mismo $\delta$ obras para la restricción $f\vert_A$, porque si $x,y\in A$$d(x,y)<\delta$, $x$ $y$ también están en $X$, lo $d(f(x),f(y))<\varepsilon$.

Answer 2

En lo que respecta a sus conclusiones "demasiado fuertes" hay una declaración más general se puede hacer. Que $f: (X,d_1) \rightarrow (Y,d_2)$ ser una función continua y $A \subset X$ compacto. Considerar $g:=f|_A$ $g$ es continua (con A dado la métrica inducida de $X$). Entonces tenemos que $g$ es una función continua cuyo dominio es compacto, así $g$ es uniformemente continua. $f$ Es uniformemente continua en $A$.