Como he aprendido más geometría de Riemann, muchos de mis profesores han dicho que el estudio de la Laplaciano (y sus autovalores) es muy importante. Pero debo admitir, que nunca he entendido completamente por qué.
Fundamentalmente, me gustaría saber por qué el Laplaciano es importante que entre todos los operadores diferenciales en un colector de Riemann. También me gustaría saber qué información geométrica el Laplaciano se supone que van a codificar.
Dicho esto, me he pasado un poco de tiempo pensando en todo esto, y mi comprensión actual es como sigue:
** De alguna manera, el Laplaciano es el "único" isométrica invariantes "escalar diferencial operador" en un colector de Riemann. Si es verdad, esta declaración sería completamente convencerme de su importancia. Sin embargo, no sé los significados precisos de las palabras entre comillas, tampoco tengo ningún sentido de por qué esa declaración sería cierto.
Una inmersión isométrica $f \colon S \a M$ es armónica si y sólo si representa una mínima submanifold de $M$. En particular, un isométricamente inmerso submanifold de $\mathbb{R}^n$ es mínima si y sólo si sus coordenadas son funciones armónicas.
El de Euler-Lagrange ecuación para la Dirichlet energía es de $\Delta f = 0$. (Pero, ¿por qué nos preocupamos por minimzing de energía, también es un poco un misterio para mí.)
Weitzenböck fórmulas de comparación de dos elípticas de segundo orden de los operadores diferenciales (y especialmente Laplacians) dar Bochner-tipo de fuga teoremas.
Debo señalar que soy consciente de que los armónicos de las funciones de satisfacer muchas de las buenas propiedades que compleja de las funciones analíticas que hacer (en virtud de la elíptica la regularidad y el principio del máximo de la magia). Aún así, esto no acaba de decirme por qué me debe importar el operador de Laplace en sí.
Nota: soy consciente de esta cuestión en los valores propios de la Laplaciano. Pero, de nuevo, mi interés es en la geometría de Riemann; materias de matemáticas aplicadas (aunque interesante), no son mi prioridad ahora mismo.
