La frase "inducida por homomorphism" es realmente informal; se refiere a cualquier contexto donde se pueden "armar" un homomorphism a partir de información dada, de una manera que no implican la realización de las elecciones (lo que nos "falta" cualquier información que se necesite). A continuación describo una forma de que esta cultivos; Zev Chonoles' respuesta se describe otro (que es probablemente más común en topología algebraica):
Un homomorphism de $A$ $B$puede ser inducida por un parcial homomorphism. Dadas dos estructuras de $A$ $B$ y un mapa (no necesariamente un homomorphism) $m$ $X$ $Y$(donde$X\subseteq A$$Y\subseteq B$, pero no son necesariamente las subestructuras), podemos decir $m$ induce un homomorphism si hay exactamente un homomorphism extender $m$, es decir, exactamente un homomorphism $f: A\rightarrow B$ tal que $f(x)=m(x)$ todos los $x\in X$.
Un ejemplo común es si $A, B$ son espacios vectoriales (más de un campo $k$), $X$ es una base para $A$, e $m$ es cualquier mapa de$X$$B$, no hay una única homomorphism de $A$ $B$extender $m$. Más generalmente, si un subconjunto $X$ genera todos los de $A$ en el sentido apropiado, entonces cualquier mapa de $X$ induce un homomorphism de $A$.
Otro estándar ejemplo de topología, esta vez, por lo que "homomorphism" debe ser reemplazado con "mapa continuo" - es el siguiente. Deje $A, B$ $\mathbb{R}$ con la topología usual, y tome $X=\mathbb{Q}$. Entonces
Si $m: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$, hay un mapa continuo $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ extender $m$.
Por ejemplo, si $m:q\mapsto q$ es la identidad en $\mathbb{Q}$, $m$ induce el mapa de identidad en $\mathbb{R}$ $f:r\mapsto r$, y si $m:q\mapsto q^2$ $m$ induce $f: r\mapsto r^2$; por el contrario, el mapa de $m(q)=0$ si $q^2<2$ $m(q)=1$ si $q^2>2$, aunque bien definido (y, de hecho, continua en $\mathbb{Q}$!) no se extiende a cualquier mapa continuo de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.
