este es mi primer post aquí.
Tengo una pregunta acerca de una prueba en Álgebra por Hungerford:
Deje $G$ ser un grupo y $H$ a un subgrupo de $G$. Deje $S$ ser el conjunto de todos los cosets de $H$ donde $G$ actúa en $S$.
Capítulo II Collorary 4.9: "$\dots$ el kernel de $G \rightarrow A(S)$ es un subgrupo normal de $G\dots$" Pregunta: ¿por Qué es el kernel normal?
Miré a través de los capítulos, pero no hubo referencias, así que me imagino que este es, probablemente, "obvio" y, por tanto, no se incluye. Se me ocurrió un intento de la prueba:
Deje $K$ ser el núcleo de la acción.
$ex = x \implies e\in K \implies K$ contiene identidad.
Deje $a,b\in K$.
$(ab)x=a(bx) = ax=x \implies ab\in K \implies K$ es cerrado.
$a\in K \implies ax=x\implies x=a^{-1}x\implies a^{-1}\in K\implies$ todos los elementos en $K$ tiene una inversa.
Por lo tanto $K$ es un grupo.
Deje $g\in G$.
$(gKg^{-1})x=(gK)(g^{-1}x)=g(K(g^{-1}x))=g(g^{-1}x)=x\implies gKg^{-1}\subset K$
Sustituto $g$ $g^{-1}$ y obtenemos $K\subset gKg^{-1}$.
Por lo tanto $gKg^{-1}=K$ $K$ es normal.
Es este enfoque correcto?
Además, supongamos que se considera el grupo de isotropía de un elemento $x\in G$ lugar.
es decir, $G_x=\lbrace g\in G\mid gx=x\rbrace$
$G_x$ será un subgrupo de $G$ utilizando un argumento similar, pero ahora no se garantiza que sea un subgrupo normal porque en
$(gG_xg^{-1})x=g(G_x(g^{-1}x))$,
$G_x(g^{-1}x)=g^{-1}x$ no es necesario cierto.
Es este argumento a la derecha?
Gracias por su tiempo!
