Aquí hay una respuesta a su pregunta acerca de la descomposición de la $V^{\otimes n}$ $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$- módulo (asumo $V$ es el estándar $2$-dimensiones irreductibles módulo).
La irreductible $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-los módulos son indexados por enteros no negativos y la correspondiente al entero $m$ será denotado $L(m)$ (tiene dimensión $m+1$ y sabemos exactamente lo que parece, véase, por ejemplo Humphrey Introducción a las Álgebras de Lie y la Teoría de la Representación en el capítulo 7).
Así que a ver cómo se descompone $V^{\otimes n}$ necesitamos saber lo $V\otimes L(m)$ es para algún entero $m$. Esto es más fácil para ver si nos fijamos en estas como $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$-módulos donde la descomposición del tensor de productos está dada por la Littlewood-Richardson regla. En este caso, ya que los $V = L(1)$, simplemente obtenemos que $V\otimes L(m) = L(m+1)\oplus L(m-1)$.
Ahora queremos aplicar esto a ver cuántas veces $L(m)$ aparece como un sumando en $V^{\otimes n}$. Nos deja denotar esta multiplicidad por $a_{m,n}$.
Nos vimos anteriormente que $a_{m,n} = a_{m-1,n-1} + a_{m+1,n-1}$.
Uno puede comprobar que $$a_{m,n} = \binom{n}{\frac{m+n}{2}} - \binom{n}{\frac{n - m - 2}{2}}$$ satisfies the above recursive formula when $n$ and $m$ have the same parity (and when they don't, $a_{m,n} = 0$). Note that $a_{0,2 k} = a_{1,2 k-1}$ is the $k$'th catalán número.
