¿Hay más incrustaciones $U(2) \hookrightarrow SO(4)$?

Question

Es fácil demostrar que $SO(4)$ actúa transitoriamente y libremente en $S^2$ $U(2)$ de la fibra. Por lo tanto, podemos identificar cada punto de $S^2$ $U(2) \hookrightarrow SO(4)$ inclusión particular.

Mi pregunta es ¿eres hay más incrustaciones $U(2) \hookrightarrow SO(4)$ o es completamente parametrizadas por $S^2$?

Answer 1

Yo estoy tomando la "incrustación" para significar "homomorphism de los grupos que pasar a ser también incrustaciones de colectores". Si usted significaba "incrustar" en el sentido más débil de olvidar la estructura de grupo, entonces como Olivier dice en los comentarios, el problema es muy difícil. También, la acción de la $SO(4)$ $S^2$ es transitivamente, pero definitivamente no libre, ya que, como se señaló, la isotropía subgrupo es $U(2)\neq \{e\}$.

Con eso fuera del camino, la respuesta es que usted haya encontrado la mitad de las incrustaciones $U(2)\rightarrow SO(4)$. Más precisamente, llame a dos incrustaciones conjugada si sus imágenes son conjugado en $SO(4)$. Luego, la U(2)s que he descrito completamente abarcar una clase conjugacy de la incrustación, y no es precisamente una de otra clase conjugacy de incrustaciones.

Las dos clases conjugacy de incrustaciones puede ser visto de la siguiente manera: Dada la doble cubierta de la $SU(2)\times SU(2)\rightarrow SO(4)$, las imágenes de $SU(2)\times S^1$ $S^1\times SU(2)$ (donde, dicen, $S^1 = \operatorname{diag}(z,\overline{z})$) son no conjugada $U(2)$s. Para mostrar que, hasta conjugacy, estas son las únicas $U(2)$s requiere (creo) un poco de teoría de la representación.

Ahora, todas las $U(2)$s de que usted haya encontrado surgir como los estabilizadores de la acción natural de la $SO(4)$$S^2$. Ahora, supongamos que hemos encontrado, de una vez por todas, el particular $U(2)$ a que se estabilice un particular punto de $p\in S^2$ en el sentido de que $A\ast p = p$ todos los $A\in U(2)$. Elija cualquier matriz $B\in SO(4)$. Un cálculo rápido muestra que el estabilizador del punto de $B\ast p$$B U(2) B^{-1}$. En particular, todas las $U(2)$ has encontrado son conjugadas.

Por el contrario, dado cualquier conjugado $CU(2)C^{-1}$ de la $U(2)$ que se encuentra, este es el estabilizador del punto de $C\ast p$. Por lo tanto, su $U(2)$s que están paramaterized por $S^2$ ha proporcionado una descripción completa de todos los $U(2)$s en una determinada clase conjugacy.