Global invertibility de un mapa de $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ de todas partes locales invertibility

Question

Me dijeron que por un tutor, que si $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ tiene una invertible Matriz Jacobiana para todo $x \in \mathbb{R}^n$ y $\lim_{|x_k| \rightarrow \infty}|f(x_k)|=\infty$ para todo tipo de secuencias, entonces $f$ es ya a nivel mundial bijective.

Esto fue muy sorprendente para mí (ya que esta parece ser una muy fuerte declaración), así que traté de buscar en el internet para este teorema pero solo me vino con teoremas sobre los inversos. Espero que alguien de aquí me puede dar una referencia o un nombre de este teorema para que yo pudiera leer una detallada de la prueba. Yo cordura comprobado para $n=1$, donde funciona a la perfección.

Answer 1

El resultado de preguntar acerca de es llamado Hadamard global del teorema de la función inversa o, a veces, Hadamard-Cacciopoli teorema. Buscando en google estas palabras clave revela toda una industria de tal local invertibility + algo que implica un mundial bijectivity resultados.

Por desgracia, yo era incapaz de encontrar un lugar accesible prueba de este resultado. Entre varias fuentes me miró, con mucho, la mejor opción parece ser la forma de presentación en la Sección 6.2 del hermoso libro de S. G. Krantz y H. R. Parques, El teorema de la función implícita: historia, teoría y aplicaciones, Birkhäuser, 2002. La prueba, puesto que es esencialmente auto-contenida y no suponga mucho conocimiento sobre el lector. Sin embargo, debo señalar que el título del Capítulo 6 es la Avanzada de la función implícita teoremas, así que definitivamente no es para los débiles de corazón.

---

De hecho, en un sentido más general, el resultado es el siguiente, también debido a Jacques Hadamard. Es un poco, pero no mucho, más difícil de probar que el resultado de preguntar acerca de.

Si usted no sabe lo que es un colector es, simplemente reemplazar $M_1$ y $M_2$ en $\mathbb{R}^n$ en el teorema siguiente, y obtener el resultado que usted está preguntando acerca de la — a $\mathbb{R}^n$ la condición 3. está satisfecho y la condición 1. se traduce, precisamente, a la condición de $\lim\limits_{|x| \to \infty} |f(x)| = \infty$ su tutor le dijo.

Teorema (Hadamard)

Deje de $M_1, M_2$ ser suave y conectado $$n-dimensional de los colectores. Supongamos que $f: M_1 \a M_2$ es un $C^1$-función tal que

1. $f$ es correcto
2. El Jacobiano de $f$ es invertible en todas partes
3. $M_2$ es simplemente conectado.

Entonces $f$ es un homeomorphism (por lo tanto, a nivel mundial bijective).

Así que, como he dicho, este teorema no es trivial en absoluto, y tanto este como el resultado que usted está interesado en se puede encontrar en el libro que he mencionado anteriormente. Un poco de búsqueda en google no ha generado un simple(r) prueba del teorema de preguntar acerca de, pero como tiene las palabras clave ahora, tal vez usted encontrará algo que se adapte a ti.

---

Añadido: debería haber mencionado el mejor conocido de Cartan-Hadamard teorema que está estrechamente relacionado, pero parece un poco más geométrica en su naturaleza.

Answer 2

Debido a que f es adecuado y localmente diffeomorphic, f:Rn→Rn es un universal que cubre el mapa. Desde Rn es simplemente conectado, a continuación, la cubierta de la transformación del grupo es trivial y por lo tanto f es inyectiva.

El mismo método puede ser aplicado a la general, el teorema de Hadamard