Cualquier sugerencias acerca de cómo probar $$!n = n!- \sum_{i=1}^{n} {{n} \choose {i}} \quad!(n-i)$$
de Artículo de Wikipedia sobre las alteraciones?
Aquí, $!n$ es el número de alteraciones de un conjunto con $n$ elementos.
Yo no estoy en busca de pruebas, sólo codazos en la dirección correcta.
Yo realmente ser una generalización de este en mi papel de "Desquiciado de los Exámenes" (Colegio de Matemáticas de Diario, 41 (3): 197-202, 2010). Ver Teorema 7.
La generalización es la siguiente. Deje $S_{n,k}$ el número de permutaciones en $n$ elementos en los que ninguno de los primeros a $k$ elementos permanece en su posición original. Por lo tanto $S_{n,0} = n!$, y el número de alteraciones en $n$ elementos, $D_n$$S_{n,n}$.
$$S_{n+k,k} = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} D_{k+j}.$$
El OP pregunta es el caso de la $k = 0$.
Voy a extraer la esencia de la prueba y la post-it en los próximos minutos.
Ya que quieres sugerencias en lugar de una prueba plena, solo voy a dejar esto como una referencia en caso de que usted (u otra persona leyendo esto) está interesado. Jonas Meyer respuesta da una buena pista.
He aquí una prueba, oscurecido el uso de spoiler espacio.
Si $d_n$ es el número de alteraciones en $n$ elementos, entonces el número de permutaciones en $n$ elementos con exactamente $i$ puntos fijos es ${n \choose i} d_{n-i}$ (a elegir yo los puntos a corregir, a continuación, cualquier permutación que corrige exactamente los $i$ puntos (y nada más) determina una alteración en la falta de puntos fijos, y no se $d_{n-i}$ tales alteraciones). Por lo tanto, $n!=\sum_{i=0}^n {n \choose i} d_{n-i}$, que puede ser reorganizado para dar la fórmula de arriba.
PS. Yo no soy un fan de la $!n$ notación, estoy bastante seguro de que no es estándar en la combinatoria.
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