Pequeño teorema de Fermat: potencias de exponentes de p

Question

Estaba trabajando con clases de congruencia y me encontré con el pequeño teorema de Fermat: $$a^{p } \equiv a \mod p$$

Pero me di cuenta de que un $^{p^{k}} \equiv a \mod p$ .

Utilicé la inducción en $k$ pero sigo sin estar convencido. ¿Alguien puede dar una manera intuitiva de ver por qué esto es así?

Answer 1

Si $a$ es divisible por $p$ es obvio.

Si no, el Pequeño Teorema de Fermat es equivalente a $a^{p-1}\equiv 1\bmod p$ .

Elevar ambos lados a cualquier potencia demuestra que $a^x\equiv 1\bmod p$ para cualquier $x$ un múltiplo de $p-1$ .

$p^k-1$ es múltiplo de $p-1$ : $(p-1)(p^{k-1}+p^{k-2}+\ldots+1)$ .

Answer 2

Sugerencia: Tome $k = 2$ . Tenemos $$a^{p^2} \equiv (a^p)^p \equiv (a)^p \equiv a \pmod p$$

Answer 3

Sugerencia $\ $ Por inducción obvia, todo conjunto cerrado bajo multiplicación es cerrado bajo potencias.

Tenga en cuenta que $\ \color{#c00}{a^J} \equiv a\equiv \color{#0a0}{a^K}\,\Rightarrow\, a^{\color{#c00}J\color{#0a0}K}\equiv (\color{#c00}{a^J})^{\color{#0a0}K}\equiv \color{#0a0}{a^K}\equiv a\,$ por lo que el conjunto $\,S\,$ de $\,N\,$ con $\,a^N\equiv a$

satsifica $\ \ \color{#c00}J,\color{#0a0}K\in S\ \Rightarrow\ \color{#c00}J\color{#0a0}K\in S,\ $ es decir $S\,$ es cerrado bajo multiplicación, así que bajo potencias.

En particular $\ a^P\equiv a\,\Rightarrow\, p\in S\,\Rightarrow\, p^k\in S\,$ para todos $\,k\ge 1$ .

Observación $\ $ Obsérvese cómo al poner en primer plano la monoide (cierre bajo producto) sirve para reducir la inducción a una inducción trivial, que los monoides son cerrados bajo potenciación. Tales simplificaciones son a menudo posibles en las pruebas inductivas comunes, por lo que vale la pena buscar primero tal estructura simplificadora antes de sumergirse de cabeza en inducciones de fuerza bruta.

Answer 4

$$a^p = a(modp) ==> a^(p^2) = a^p = a(modp) ==> a^(p^3) = a^p = a(modp) ==> a^(p^k) = a^p = a(modp). $$

Answer 5

$a^{p^k}=(((a^p)^p)...) \equiv ... \equiv( (a^p)^p)^p \equiv (a^p)^p \equiv a^p \equiv a$ simplemente iterando el Pequeño Teorema de Fermat dentro de los delimitadores.