Deje $n=r^4+1$ algunos $r$. Mostrar que ninguno de $3,5,$ $7$ puede dividir $n$.
Estoy pensando en utilizar un corolario de que "cada divisor primo p de un entero de la forma $(2m)^4+1$ tiene la forma $8k+1$", pero yo no. Alguien puede dar alguna pista?
Voy a probar para hacer la más elemental de las pruebas posibles.
$\bmod 3$, $(0, \pm 1)^4 \equiv (0, 1) $ así $(0, \pm 1)^4+1 \equiv (1, 2) $ así $3 \not \mid r^4+1$.
$\bmod 5$, $(0, \pm 1, \pm 2)^4 \equiv (0, 1, 1) $ así $(0, \pm 1, \pm 2)^4+1 \equiv (1, 2, 2) $ así $5 \not \mid r^4+1$.
$\bmod 7$, $(0, \pm 1, \2 pm, \pm 3)^4 \equiv (0, 1, 2, 4) $ así $(0, \pm 1, \2 pm, \pm 3)^4+1 \equiv (1, 2, 3, 5) $ así $7 \not \mid r^4+1$.
El uso de Fermat poco teorema. Si $r $ no es divisible por 3, $r^2 \equiv 1 \mod 3$. Si $r$ es divisible por 3, a continuación,$r^2 \equiv 0 \mod 3$. Por lo $r^4 \not \equiv -1 \mod 3$ $r^4 + 1$ no es divisible por 3.
Del mismo modo $r^4 \equiv 1,0 \mod 5$ $r^4 + 1$ no es divisible por 5.
Si $r$ no es divisible por 7, a continuación,$r^6 \equiv 1 \mod 7$. Así que si $r^4 \equiv -1 \mod 7$$r^8 \equiv r^2 \equiv 1 \mod 7$. Así, contradictorio, $r^4 \equiv 1 \mod 7$. Por lo $r^4 \not \equiv -1 \mod 7$. Por lo $r^4 + 1$ nunca disible por 7.
Aquí es una variante de @carmichael561 de la prueba.
Como antes, se tiene un elemento de orden $8$. Por Lagrange del teorema, $8$ divide $p-1$ $p$ es de la forma $8k+1$. Pero $3,5,7$ no son de la forma $8k+1$.
Este argumento nos permite extender los resultados a $p=11, 13, 19, 23, 29, \dots$, por lo que el argumento original falla.
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