¿Cómo no ser una homotopía este mapa?

Question

Considerar el mapa de $H: [0,2\pi) \times I \rightarrow \mathbb R^2 \setminus \{0\}, h(x,t)=e^{itx}$, el cual se asigna el intervalo de $[0,2\pi)$ a un arco circular cuya longitud crece con $t$, a partir de un solo punto para un círculo completo.

Ahora este mapa no puede ser un homotopy, ya $S^1$ no es null-homotópica en $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$, pero no acaba de ver donde exactamente $H$ no ser continua.

Editar: Como un seguimiento después de la lectura de Zev la respuesta, ¿y el mapa $G: [0,2\pi] \times I \rightarrow \mathbb R^2 \setminus \{0\}, h(x,t)=e^{itx}$? No puede ser un homotopy por el mismo argumento anterior, pero aún no puedo ver por qué no ser continua. El punto crítico a considerar deben ser, obviamente,$(1,0) \in \mathbb R^2$, pero todos los abiertos barrios he tratado de calcular parecen ser "aceptar".

Answer 1

Disculpas, mi respuesta original tenía un error. La respuesta es que el mapa se indica en la pregunta, no es un "homotopy a $S^1$", pero me indica incorrectamente que la sustitución de $[0,2\pi)$$[0,2\pi]$, siempre que el mapa adecuado para considerar, cuando en realidad debería haber sido $S^1$ (por supuesto, cualquier mapa de un contráctiles espacio es nulo homotópica).

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Excelente pregunta! Es bueno examinar de cerca donde un resultado de los conflictos con su intuición, y averiguar lo que está pasando. En este caso, el mapa de $H$ es perfectamente válido homotopy - simplemente no es un "homotopy a $S^1$". Es decir, la etapa final de la homotopy, el mapa $$H_1:[0,2\pi)\to\mathbb{R}^2\setminus\{0\},$$ no es el mapa de $\phi:S^1\to\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ definido por $\phi(z)=(\mathrm{Re}(z),\mathrm{Im}(z))$ (que no es null-homotópica).

La diferencia es que, para $0<t_1,t_2<2\pi$ $t_1>0$ "cerca" $0$ $t_2$ "cerca" $2\pi$, continua mapas de $S^1\to X$ debe enviar $z_1=e^{it_1}$ $z_2=e^{it_2}$ a los puntos que están "cerca" en $X$, mientras que la continua mapas de $[0,2\pi]\to X$ puede enviar $t_1$ $t_2$ a cualquiera de los puntos en el mismo componente de la ruta, no necesariamente los que están muy juntos.