rango de una función fraccionaria

Question

Encontrado el siguiente problema y me insinuaba a considerar el caso de borde.

Determinar todos los posibles valores de $$S = \frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$ $ donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son números positivos arbitrarios.

Answer 1

Por favor nota: Esta respuesta no era correcta cuando publicadas por primera vez, pero ya se ha solucionado (espero). Si usted desea ver los primeros, el mal, la solución, basta con mirar el historial de edición. Todavía me estoy dejando la determinación de la infimum a los demás.

La expresión es homogénea de orden cero, es decir, no cambia si el vector $(a,b,c,d)$ se multiplica por una constante. Así que usted podría asumir $a+b+c+d=1$, y estamos buscando en los puntos del interior del simplex con esquinas en $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ y $(0,0,0,1)$. Además, tenga en cuenta que podemos escribir ahora $$ S=\frac{a}{1-c}+\frac{b}{1-d}+\frac{c}{1-a}+\frac{d}{1-b}.$$ Si usted fix $b$ $d$ $a+c$ es fijo, y es fácil ver que el primer y tercer términos son cada cóncava funciones de $a$ (o, equivalentemente, de $c$). Por lo tanto también lo es la suma de los mismos, por lo que el mínimo aparece en los extremos del intervalo permisible, es decir, en donde el $a$ o $c$ se desvanece. Por simetría, puede que simplemente veamos el caso de $c=0$. Un argumento similar se aplica el segundo y cuarto términos y las variables$b$$d$, por lo que podemos establecer $d=0$. Pero con $c=d=0$ toda la expresión se reduce a $a+b=1$, lo $S$ tiene el mínimo valor de $1$ en el cerrado simplex. Por supuesto, esto no se logrará en el interior de la simple, pero el infimum todavía es $1$.

A partir de la simetría, es fácil adivinar (pero erróneamente, como resulta – ver los comentarios) que el máximo ocurre!

Creo que voy a salir de allí, no echar a perder toda la diversión.