Hartshorne , geometría algebraica ha escrito, que para cada esquema de morfismo $f: Spec B \to Spec A$ y $A$-módulo de $M$ $f^*(\tilde M) = \tilde {(M \otimes_A B)}$%. Y que sigue inmediatamente de la definición. Pero no sé cómo demostrar de manera sencilla. ¿Me podrias ayudar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No utilizar el libro de Hartshorne cuando quieres aprender los fundamentos de la geometría algebraica. Hay muchos, muchos libros que explican mucho mejor (Liu, Görtz-Wedhorn, Bosch, ...). Y de hecho, en este caso, este isomorfismo ¿ no se sigue inmediatamente de la definición habitual de $f^*$ través $f^{-1}$. Por lo tanto, el reclamo de Hartshorne es engañosa. Una vez tiene el uso de la contigüidad entre escalares restricción y extensión de escalares:
La inversa de la imagen functor $f^*$ debe ser visto como (definido) el adjunto a la izquierda de la imagen directa functor $f_*$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $f_* : \mathsf{Qcoh}(\mathrm{Spec}(B)) \to \mathsf{Qcoh}(\mathrm{Spec}(A))$ corresponde, en virtud de la equivalencia de las categorías $ \mathsf{Qcoh}(\mathrm{Spec}(A)) \cong \mathsf{Mod}(A), F \mapsto \Gamma(F)$, a la restricción de escalares functor $\mathsf{Mod}(B) \to \mathsf{Mod}(A)$. Pero esto es claro, ya que tenemos más general,$\Gamma(f_*(F))=\Gamma(F)$, por definición, de $f_*$.
Uno puede, en lugar de adjointness, comienzan con $f^* \tilde{M} = f^{-1} \tilde{M} \otimes_{f^{-1} \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}} \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(B)}$, y el uso de la complicada ad hoc definiciones del producto tensor de poleas y de $f^{-1}$ (recordar que están asociados a las poleas de ciertos presheaves). Pero esto implica, en detalle, muchos cálculos. En mi opinión, este enfoque es innecesariamente complicado.
YequalsX
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Como Martin indica en su respuesta, es más fácil demostrar que $f_*$ corresponde a los desmemoriados functor de $B$-módulos de a $A$-módulos y, a continuación, utilizar adjointness a entender $f^*$.
De nuevo, como Martin notas, una vez que sabemos que $f_*$ toma la cuasi coherente gavilla $\widetilde{N}$ a un cuasi coherente gavilla, podemos determinar que gavilla obtenemos tomando global de las secciones.
Sin embargo, no es tan automático que $f_*$ toma un cuasi coherente gavilla a un cuasi coherente gavilla (por ejemplo, esto no es cierto en completa generalidad arbitrarias de mapas entre arbitraria esquemas).
En el afín caso, uno puede conseguir alrededor de este problema de la siguiente manera:
Para determinar el $f_*\widetilde{N}$, es suficiente para entender su comportamiento sobre la base de abrir los conjuntos de la forma de Especificaciones $A_a$ ($a \in A$).
La preimagen de Espec $A_a$ es Espec $B_a$.
Así que, por definición, de $f_*$, las secciones de $f_*\widetilde N$ on Spec $A_a$$N_a$, con la evidente mapas de restricción si $a \mid a$'. (Tenga en cuenta que $N_a$ tiene el mismo significado si consideramos a $a$ como un elemento de $A$ y respecto a $N$ $A$- módulo o materia $a$ como un elemento de $B$, a través de los morfismos $A \to B$, y respecto a $N$ $B$- módulo).
Cuando consideramos a $N$ $A$- módulo, a continuación, la asociada a la gavilla de nuevo adjunta $N_a$ a Espec $A_a$, con la evidente mapas de restricción.
Por lo tanto, de hecho, $f_* \widetilde N$ es naturalmente isomorfo a la gavilla conectado a $N$ considerado como un $A$-módulo.
Una de las razones de la ortografía de este argumento, es el punto de salida (a) $f_*$ puede ser calculada directamente en términos de sus secciones (no hay sheafification proceso, a diferencia de en la construcción de $f^*$), y así es a veces más accesibles; y (b) de que la computación $f_*$ requiere de la comprensión de preimages de subconjuntos abiertos, y uno tiene el hecho importante en la afín a establecer que la preimagen de Espec $A_a$ es simplemente Espec $B_a$. Este hecho tiene un obvio sentido geométrico (digamos en el caso de variedades que vale la pena hacer claro para ti.
