Es la medida de la suma igual a la suma de las medidas?

Question

Deje $A,B$ ser subconjuntos en $\mathbb{R}$. Es cierto que $$m(A+B)=m(A)+m(B)?$$ A condición de que la suma es medible.

Creo que no debe ser así, pero no podía encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Otro ejemplo: $$A=\mathbb{Z},\quad B=[0,1],\quad a+B=\mathbb{R}.$$

Answer 2

Yo preassume que aquí $A+B:=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$.

Contraejemplo (para la medida de Lebesgue):

Tome $A=[0,1]\cup[2,3]$ $B=[0,1]$ (de modo que $A+B=[0,4]$)

Answer 3

Vamos que considerar el ternario de la representación de un número en $(0,1)$: $$x= 0.\overline{1022101}_3$$ La explotación de $0=\frac{0+0}{2},1=\frac{0+2}{2},2=\frac{2+2}{2}$ dígito por dígito, podemos escribir $x$ como promedio entre dos números de $a,b$ $$x = 0.\overline{1022101}_3 = \frac{0.\overline{0022000}_3+0.\overline{2022202}_3}{2}=\frac{a+b}{2}$$ con la propiedad de que todos sus dígitos ternarios pertenecen a $\{0,2\}$. De ello se sigue que si $K$ es un conjunto de Cantor en $[0,1]$, $\mu(K)=0$, pero $\mu(K+K)\geq 2$, ya que el $K+K$ contiene todos los puntos del intervalo $(0,2)$.

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Este argumento también tiene una discreta análogo en términos de Sidón conjuntos o aditivo bases.
Por ejemplo, si $Q$ es el conjunto de enteros plazas y $E=Q+Q$, $E$ tiene una densidad de cero en $\mathbb{N}$, es decir, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|E\cap[1,n]\right|}{n}=0,$$ pero cada número natural le pertenece a $E+E$ por Lagrange de cuatro plazas teorema.
Si tomamos $C$ como el conjunto de los enteros cubos, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|C\cap[-n,n]\right|}{2n+1}=0,$$ pero $$\forall n\in\mathbb{Z},\qquad n\in \left(C+C+C+C+C\right).$$