$a^2-b^2 = x$ donde $a,b,x$ son números naturales

Question

Supongamos que $a^2-b^2 =x$ donde $a,b,x$ son números naturales.

Supongamos $x$ es fijo. Si hay un $(a,b)$ encuentra, no puede ser otro $(a,b)$?

También, habrá una manera de saber cuántas de estas $(a,b)$ existe?

Answer 1

Tenga en cuenta que $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ y $(a+b)=c$ $(a-b)=d$ son ambos pares o ambos inclusive.

Si $x=cd$ donde $c>d$ $c$ $d$ tienen la misma paridad, a continuación, $a=\frac {c+d}2, b=\frac {c-d}2$ son números naturales que trabajan para $x$.

Siempre es posible expresar un número impar $x$ de esta manera, el uso de $c=x, d=1$. Si $x$ es el primer no hay ninguna otra factorización.

Si $x$ es aún, debe ser divisible por 4, y si $x=4y$ $c=2y, d=2$ va a hacer proporcionado $y>1$.

El número de soluciones depende del número de factorisations en factores como la paridad.

Answer 2

Desea $x = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Deje $m = a-b$$n = a+b$, a continuación, tenga en cuenta que$a = (m+n)/2$$b = (n-m)/2$. Para que estos son números naturales, que desea que los $m$ $n$ a ser de la misma paridad (es decir, ambos pares o ambos inclusive), y $m \le n$. Para cualquier factorización $x = mn$ la satisfacción de estas propiedades, $a = (m+n)/2$ $b = (n-m)/2$ será una solución.

La respuesta a tu pregunta de cómo muchos de esos $(a,b)$ existen es por tanto el mismo como ¿cuántas maneras hay de la escritura $x = mn$ con ambos factores de la misma paridad y $m \le n$. Deje $d(x)$ denotar el número de divisores de a $x$. (Por ejemplo, $d(12) = 6$ $12$ $6$ factores $1, 2, 3, 4, 6, 12$.)

• Si $x$ es impar, tenga en cuenta que para cualquier divisor $m$$x$, el de la factorización de la $x = mn$ (donde $n = x/m$) tiene ambos factores impares. También, fuera de cualquiera de los dos factorizations $(m,n)$$(n,m)$, uno de ellos se ha $m < n$ y el otro tendrá $m > n$, por lo que el número de "buena" factorizations de $x$$d(x)/2$. En el caso de que $x$ es un cuadrado perfecto, esto significa que tanto las $\lceil d(x)/2 \rceil$ o $\lfloor d(x)/2 \rfloor$ dependiendo de si desea o no permitir la solución $a = \sqrt{x}$, $b = 0$.

• Si $x$ es incluso, a continuación, $m$ $n$ no puede ser extraño por lo que deben ser ambos inclusive, por lo $x$ debe ser divisible por $4$. Decir $x = 2^k \cdot l$ donde $k \ge 2$. Cuántos factorizations $x = mn$ están allí con tanto $m$ $n$ aun? Bueno, hay $d(x)$ factorisations de $x$$x = mn$. De estos, el factorisations en el que todos los poderes de la $2$ ir de un lado puede ser adquirida por cualquiera de las $d(l)$ factorisations de $l$, y luego poner los poderes de los dos por completo en una de las $2$ lados. Por lo que el número de representaciones de $x = mn$ $m$ $n$ siendo incluso es $d(x) - 2d(l)$. De nuevo, el número de $m \le n$ es la mitad, es decir,$(d(x) - 2d(l))/2$, donde en el caso de $x$ es un cuadrado perfecto, quiere decir $\lceil (d(x) - 2d(l))/2 \rceil$ o $\lfloor (d(x) - 2d(l))/2 \rfloor$ dependiendo de si desea permitir que el $b = 0$ solución o no.

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Aquí es un programa de uso de la Salvia que puede imprimir todas las soluciones $(a,b)$ cualquier $x$.

#!/path/to/sage

print "Hello"
def mn(x):
  '''Returns all (m,n) such that x = mn, m <= n, and both odd/even'''
  for m in divisors(x):
    n = x/m
    if m <= n and (m % 2 == n % 2): yield (m,n)
    elif m > n: break
def ab(x):
  '''Returns all (a,b) such that a^2 - b^2 = x'''
  return [((m+n)/2, (n-m)/2) for (m,n) in mn(x)]

def num_ab(x):
  '''The number of (a,b) such that a^2 - b^2 = x'''
  dx = number_of_divisors(x)
  if x % 2: return ceil(dx / 2)
  l = odd_part(x)
  dl = number_of_divisors(l)
  return ceil((dx - 2*dl) / 2)

# Do it in two ways to check that we have things right
for x in range(1,1000): assert num_ab(x) == len(ab(x))
# Some examples
print ab(12)
print ab(100)
print ab(23)
print ab(42)
print ab(999)
print ab(100000001)

Imprime:

Hello
[(4, 2)]
[(26, 24), (10, 0)]
[(12, 11)]
[]
[(500, 499), (168, 165), (60, 51), (32, 5)]
[(50000001, 50000000), (2941185, 2941168)]

y se puede comprobar que, por ejemplo, $168^2 -165^2 = 999$.

Answer 3

Usted necesita para explotar el hecho de que el lado derecho de la ecuación puede ser factorizado. Por ejemplo para la parte (1) de los ejercicios, si $x$ es extraño, por decir $x = 2n+1$ para algunos entero $n$, luego

$$ x = 2n + 1 = y^2 - z^2 = (y - z)(y + z) $$

Ahora, trate de considerar un trivial de la factorización de $2n+1$ como $2n+1 = 1 \cdot (2n+1)$ y comparar los dos factorizations para obtener un sistema de ecuaciones

$$ \begin{align} y - z &= 1\\ y + z &= 2n + 1 \end{align} $$

Creo que se puede tomar desde aquí, pero siéntase libre de preguntar si te quedas atascado.

Answer 4

Cualquier número N puede ser representado como el producto de dos .

$$ N= a*b =({a+b\over 2})^2 - ({a-b\over 2})^2 $$

$$ To\ be\ difference\ of\ perfect\ squares\ the\ condition\ is\ ({a+b\over 2}) and \ ({a-b\over 2}) \ should\ be\ integers\ .$$

Esto sólo ocurre en el fib

1) a y b son impares

o

2) a y b son incluso

por ejemplo. $$ 100 = 2^2 * 5^2 $$ Por lo que el número de factores en 100= (2+1)(2+1) =9

Son 1,2,4,5,10,20,25,50,100

Encontrar los pares de números que da producto 100 ,(truco es tomar los números correspondientes que viene desde los extremos opuestos de la lista de arriba )

así 100 = 1*100 , 2*50 , 4*25 , 5*20 ( no tome el número del medio en caso de que el número en sí es como un cuadrado como 100 = 10^2)

aquí la par que satisface la condición es

2*50 ( incluso * incluso) , por lo que a=50 , b=2 ahora calcular ,$$ ({a+b\over 2})\ and\ ({a-b\over 2}) $$

Así

$$ 100 = 26^2 - 24^2 $$ es la única posibilidad