Me han propuesto este enigma, pero no consigo resolverlo. Así que aquí está:
$$\begin{align} e^{2 \pi i n} &= 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} && (\times e) \tag{0} \\ e^{2 \pi i n + 1} &= e &&(^{1 + 2 \pi i n})\ \text{(raising both sides to the $2\pi in+1$ power)} \tag{1} \\ e^{(2 \pi i n + 1)(2 \pi i n + 1)} &= e^{(2 \pi i n + 1)} = e &&(\text{because of (1)}) \tag{2} \\ e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^2 n^2} &= e && (\div e) \tag{3} \\ e^{4 \pi i n - 4 \pi^2 n^2} &= 1 &&(n \rightarrow +\infty) \tag{4} \\ 0 &= 1 &&(?) \tag{5} \end{align}$$
Así que la pregunta es: ¿dónde está el error?
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El otro problema, que las tres respuestas actuales no mencionan, es que $\hspace{1.88 in}$ e-to-the no tiene límite en infinito complejo . $\:$
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Con todo rigor, falta un paso: a partir de [1] se puede establecer $(e^{2\pi in+1})^{2\pi in+1}=e^{2\pi in+1}$ lo cual es cierto; pero como han señalado varios encuestados, esto no se puede convertir a [2] debido a las propiedades de la potencia compleja ( $(a^b)^c$ no podrá ser sustituido por $a^{(bc)}$ ).
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@Ricky: No estoy seguro de que $4\pi in-4\pi^2n^2$ sea un caso de infinito complejo, tiene un argumento bien definido ( $\pi$ ). Además la exponencial es igual a $e^{-4\pi^2n^2}$ y tiende claramente a $0$ .
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@RickyDemer: Desde $n\in\Bbb N$ (claramente establecido) el límite $n\to\infty$ es sólo uno sobre los números naturales (y converge); no hay infinito complejo implicado.
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@MarcvanLeeuwen : $\;\;\;$ $4\pi in-4\pi^2n^2$ es una secuencia de números complejos $\hspace{1.89 in}$ cuyos valores absolutos convergen al infinito. $\;\;\;\;\;\;\;$
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@RickyDemer: ¿Y qué? Eso no lo convierte en un límite de una variable compleja que va al infinito complejo. Según tu razonamiento no se podría decir $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$ ya sea (con $x$ una variable real).
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@MarcvanLeeuwen : $\:$ Así que tal vez debería ser más específico y decir que $\:4\pi in-4\pi^2n^2\:$ es una secuencia de no real números complejos cuyos valores absolutos convergen al infinito. $\;\;\;\;$
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@RickyDemer: Eso es irrelevante. $(\exp(4\pi in-4\pi^2n^2))_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de números complejos indexada por un número natural $n$ el límite $\lim_{n\to\infty}\exp(4\pi in-4\pi^2n^2)$ es el de una secuencia, y no el de una función de variable compleja. No importa dónde vivan los valores intermedios en el cómputo. A modo de comparación, si $(A_n)_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de matrices complejas, entonces $\lim_{n\to\infty}\det(A_n)$ sigue siendo el límite de una secuencia de números complejos, sin relación con algún hipotético "infinito matricial" (aunque las matrices tiendan al infinito en algún sentido).
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@MarcvanLeeuwen : $\:$ La relevancia de mi comentario anterior es que para justificar el límite de los exponenciales habría sido necesario expandirlos primero, en lugar de limitarse a utilizar el límite de los exponentes. $\hspace{.89 in}$
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Como usted seguro de ir de la línea $(4)$ a la línea $(5)$ ?