Propiedad de delta de Dirac de la función en $\mathbb{R}^n$

Question

¿Cómo demostrar la siguiente identidad?

$$\int _Vf(\pmb{r})\delta (g(\pmb{r}))d\pmb{r}=\int _S\frac{f(\pmb{r})}{|\text{grad} g(\pmb{r})|}d\sigma$$

donde $S$ es la superficie dentro de $V$ donde$g(\pmb{r})=0$, y se supone que $\text{grad} g(\pmb{r})\neq 0$. Gracias.

Edit: he probado unidimensional versión de esta fórmula:

$$\delta (g(x))=\sum _a \frac{\delta (x-a)}{\left|g'(a)\right|}$$

donde $a$ pasa a través de los ceros de $g(x)$, y se supone que en esos puntos $g'(a)\neq 0$. la integral se puede dividir en una suma de integrales sobre intervalos pequeños que contienen los ceros de $g(x)$. En estos intervalos, $g(x)$ puede ser aproximada por $g(a)+(x-a)g'(a)=(x-a)g'(a)$ desde $g(a)=0$. Así

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (g(x))dx=\sum _a \int _{a-\epsilon }^{a+\epsilon }f(x)\delta \left((x-a)g'(a)\right)dx$$

El uso de la propiedad $\delta (kx)=\frac{\delta (x)}{|k|}$, se deduce que

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (g(x))dx=\sum _a \frac{f(a)}{\left|g'(a)\right|}$$

Este es el mismo resultado se habría obtenido si se hubiera escrito $\sum _a \frac{\delta (x-a)}{\left|g'(a)\right|}$ en lugar de $\delta (g(x))$ como factor de el integrando.

Answer 1

Trate de sustituir a $\delta(x)$ $\varphi_\epsilon(x)=\varphi(x/\epsilon)/\epsilon$ donde $\varphi$ es una función positiva de tamaño compacto y cuya integral es $1$. Para tales $\varphi$, $\lim_{\epsilon\to 0}\;\varphi_\epsilon\to\delta$ en el sentido de las distribuciones. Cerca de los puntos $\pmb{r}\in S$, $g(\pmb{x})=(\pmb{x}-\pmb{r})\cdot \nabla g(\pmb{r})+o(\pmb{x}-\pmb{r})$.

En $S$, $\nabla g=\pmb{n}|\nabla g|$, donde $\pmb{n}$ es la normal de la superficie a $S$. Tan cerca de $\pmb{r}\in S$, $$ \begin{align} \varphi_\epsilon(g(\pmb{x}))&=\varphi((\pmb{x}-\pmb{r})\cdot \nabla g(\pmb{r})/\epsilon)/\epsilon+o(\pmb{x}-\pmb{r})\\ &=\varphi((\pmb{x}-\pmb{r})\cdot \pmb{n}/\epsilon')/\epsilon'/|\nabla g(\pmb{r})|+o(\pmb{x}-\pmb{r})\\ &=\varphi_{\epsilon'}((\pmb{x}-\pmb{r})\cdot \pmb{n})/|\nabla g(\pmb{r})|+o(\pmb{x}-\pmb{r}) \end{align} $$ donde $\varphi_{\epsilon'}((\pmb{x}-\pmb{r})\cdot \pmb{n})$ es una aproximación de la medida de superficie en $S$ cerca de $\pmb{r}$.

Por lo tanto, $\delta(g(\pmb{r}))\;d\pmb{r}=\;\displaystyle{\frac{d\sigma}{|\nabla g(\pmb{r})|}}$ donde $d\sigma$ es la medida de superficie en $S$.

Answer 2

Por serie de Taylor $g(\mathbf{x}) = g(\mathbf{r}) + \vec{\mathrm{grad} g(\mathbf{r})}.(\mathbf{x}-\mathbf{r}) + o(\vert \mathbf{x}-\mathbf{r} \vert)$ como una nueva coordenada en la vecindad de la superficie, donde $g(\mathbf{r})=0$. Cambio de base de a $\mathbf{n}_1 = \frac{\vec{\mathrm{grad} g(\mathbf{r})}}{\vert{\mathrm{grad} g(\mathbf{r})}\vert}$ como un primer vector, y el resto de $\mathbf{n}_i$ $i=2, \ldots, n$ son elegidos por Gramo orthogonalization procedimiento. Deje $t_i$ se coordina en este sistema, $\mathbf{r} = \sum_i t_i \mathbf{n}_i$. A continuación,$dV_x = dx_1 \wedge d x_2 \wedge \ldots \wedge d x_n = \vert J \vert dt_1 \wedge d t_2 \wedge \ldots \wedge d t_n = dV_t$.

$$ \int f(\mathbf{r}) \delta( g(\mathbf{r})) dV_x = \int f(\mathbf{r}) \delta( \vert \mathrm{grad} g(\mathbf{r}) \vert t_1 ) dV_t = \int f(\mathbf{r}) \frac{1}{\vert \mathrm{grad} g(\mathbf{r}) \vert }\delta( t_1 ) dV_t $$

Integración hostil $t_1$, el resultado es $d \sigma$.

Esta es un poco la mano ondulado, pero da una idea.

Answer 3

Lo que se cita es una declaración general acerca de pull-backs de las distribuciones. Como yo no estoy del todo seguro de su fondo, no voy a tratar de dar una explicación detallada aquí. Más bien, me voy a referir al Capítulo 7 de Friedlander y Joshi la Introducción a la Teoría de Distribuciones.