Prueba $\frac{1}{\sqrt{x}}\geq \frac{\ln x}{x-1}$

Question

Estoy tratando de mostrar que, para todos $x>0:$

$$\frac{1}{\sqrt{x}}\geq \frac{\ln x}{x-1}$$

Esta desigualdad está más cerca de lo que esperaba. He probado exponenciando, series de potencias, y no he conseguido nada. Te agradecería mucho que me ayudaras. A continuación se muestra un gráfico de las dos funciones para pequeñas $x:$

Answer 1

Sustitución de $x$ con $x^2$ da la desigualdad más manejable

$${1\over x} \ge {2\ln x\over x^2-1}\quad\text{ for all } x\gt0$$

que demostrar. Esto puede resolverse mirando dónde está la función

$$f(x)=2\ln x + {1\over x}-x$$

cruza el $x$ eje, lo que sin duda hace en $x=1$ pero en ningún otro sitio, ya que

$$f'(x)={2\over x}-{1\over x^2}-1 = -\left(1-{1\over x}\right)^2$$

es siempre negativo.

Answer 2

He aquí un enfoque. Llevar el término de la derecha a la izquierda y hacer una fracción a través de un denominador común. El numerador tiene un cero para x=1.(¡Lo cual es importante!) El denominador es indefinido para x=1. (Se entiende que el signo de igualdad aquí es válido) Para x entre 0 y 1, así como para x>1, determina el signo del numerador y del denominador. Eso debería bastar siempre que la desigualdad dada sea correcta.

Answer 3

¿Funcionaría este planteamiento?

Para $x>1$

necesitamos mostrar $\dfrac{\ln{x}}{x-1}\le\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$\sqrt{x}ln(x)\le x-1$

$ln(x)\le\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

que se reduce a demostrar que $x\le e^{\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$

cuando x=1, tenemos la igualdad y cuando se diferencian las dos, se cumple lo siguiente para x>1

$\dfrac{d}{dx}x \le \dfrac{d}{dx}e^{\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} $

de ahí

$x\le e^{\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$

así que $\dfrac{\ln{x}}{x-1}\le\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ para x>1

Answer 4

Puede que alguien ya haya mencionado este enfoque. Pero una cosa que podrías hacer es llevar todo al lado izquierdo y dejar que el lado izquierdo sea $f(x$ ). Así pues, tenemos $f(x) \ge 0$ . La idea aquí sería demostrar que $f(x)$ comienza positivo, y entonces si puedes mostrar $f'(x) > 0$ para todos $x > 0$ que $f(x)$ es una función creciente, y ya está.

$\frac{1}{\sqrt x} - \frac{ lnx}{x-1} \ge 0$ $\rightarrow$ $\frac{x-1-\sqrt xlnx}{\sqrt x (x-1)} \ge 0$ Podemos usar el cálculo y mostrar usando la regla de L'hopitals como $x \rightarrow 0^-$ que $\sqrt xlnx \rightarrow 0$ por lo que el numerador y el denominador serían ambos negativos como $x \rightarrow 0^-$ por lo que si dejamos que $f(x) = \frac{x-1-\sqrt xlnx}{\sqrt x (x-1)}$ podemos decir que f(x) inicialmente comienza siendo positiva para cualquier x positivo pequeño, y sólo necesitamos confirmar computacionalmente $f'(x) > 0$ para $x > 0$ y habríamos terminado.