Ejemplos de topologías en las que todos los bloques abiertos son regulares?

Question

Un subconjunto abierto U de un espacio X es regular si es igual que el interior de su cierre, como aprendemos de la Wikipedia glosario de topología. Además, las horas regulares de subconjuntos de un espacio (espacio) constituyen un álgebra Booleana.

Estoy entrando a esto de la lógica y el álgebra, con no mucho de fondo en la topología. No puedo entender que las topologías tienen "muy interesante" las colecciones de horas regulares de conjuntos. Por ejemplo, en el trivial de la topología y de la topología discreta, cada conjunto abierto es regular, si no me equivoco. Esos no son "interesantes" de las topologías. Supongo que hay otras topologías en las que el espacio X y el nulo conjunto son el único abierto conjuntos. Si es así, esos no son "interesantes", al menos no con respecto a sus horas regulares de ets.

Yo creo que lo que estoy buscando es topologías en las que cada conjunto abierto es regular, otras de las que me acabo de describir. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Bueno, para empezar, si tu espacio es $T_1$ (de modo que en un punto de conjuntos son cerrados), entonces debe de ser discreto.

Prueba: Supongamos $X$ $T_1$ y cada subconjunto abierto de $X$ es regular. Deje $y \in X$. A continuación, $X \backslash \{y\}$ está abierto. Ahora $X \backslash \{y\}$ también debe ser cerrado. Porque si no, entonces su cierre es necesariamente $X$, cuyo interior es $X$, no $X \backslash \{y\}$, contradiciendo la regularidad. Desde $X \backslash \{y\}$ es cerrado, $\{y\}$ está abierto.

Esto me sugiere que hay no va a ser muy interesante muchos topologías con esta propiedad.

Anexo: Otra posibilidad sería considerar la posibilidad de espacios para que las horas regulares de conjuntos forman una base para la topología. En cierto sentido, esto asegura que hay "bastante" regular abrir sets. Estos espacios incluyen $\mathbb{R}^n$, todos los topológica de los colectores, y todos los espacios de Banach. Yo no improviso pensar en un ejemplo de un espacio sin esta propiedad; ¿alguien puede? Si hay interesantes necesarias y/o suficientes condiciones para esta propiedad, mejor aún.