Un límite superior en el número de regiones en las $\mathbb{R}^3$ desde el interection de la unidad de las esferas

Question

Si usted coloque $n$ unidad de esferas en $\mathbb{R}^3$, entonces el número de regiones formadas por la intersección de las esferas debe estar acotada arriba por $n^3$.

Esto es algo que un libro handwaved como "fácil", pero no puedo conseguir una manija en cómo probar esto.

Es posible colocar las 4 de la unidad de las esferas en una configuración como la de un tetraedro para obtener $2^4 = 16$ regiones, pero más allá de eso, no podemos hacer otra unidad de la esfera en que se cruza cada región. Por supuesto, 16 está muy por debajo de $4^3 = 64$. La cota de $n^3$ sólo se convierte en trivial en $n = 10$, debido a $2^{10} > 10^3$. No sé cómo iba a comenzar a contar el número de regiones que cada nueva unidad esfera se cruzan para crear nuevas regiones.

Answer 1

Reivindicación 1: $n\ge1$ círculos dibujados en una esfera divide la esfera en la mayoría de los $n(n-1)+2$ regiones.

Prueba: Por $n=1$ esto es obvio. Supongamos que tenemos $k-1$ círculos , y de investigar lo que sucede cuando usted dibuje un nuevo círculo de $c$. El nuevo círculo de $c$ pueden cruzar la anterior círculos en no más de $2(k-1)$ puntos; por lo que la anterior círculos dividen $c$ en la mayoría de los $2(k-1)$ arcos. Cada una de estas arco dividir una región en dos. Por lo que el aumento en el número de regiones en la mayoría de los $2(k-1)$; el número total de regiones no puede exceder $2+\sum\limits_{k=2}^n 2(k-1)=n(n-1)+2$.

La prueba demuestra que esta enlazado es fuerte; si cada dos círculos se intersectan y los puntos de intersección que no chocan, a continuación, tenemos exactamente $k(k-1)+2$ regiones.

Reivindicación 2: $n$ esferas dividir el espacio en que en la mayoría de $2+\sum\limits_{k=2}^{n} \big((k-1)(k-2)+2\big)= \frac{n^3-3n^2+8n}3$ de las regiones.

(Se puede repetir la misma prueba.)

Answer 2

El número máximo de regiones formado por un arreglo de $d$-dimensiones hyperspheres es

$$ R_d(n) = {n-1 \choose d} + \sum_{k=0}^{d} {n \choose k}$$

Cuando añadimos la $n$th esfera $s_n$, cada región se mantiene el mismo o es atravesada (la creación de dos regiones). Así, el número total de regiones $R_d(n)$ es el número de las anteriores regiones $R_d(n-1)$ más el número de las anteriores regiones que son atravesadas $R_{d-1}(n-1)$. Para explicar el segundo término, supongamos que estamos en dimensión tres. La intersección de a $s_n$ $s_{i<n}$ es en la mayoría de las $n-1$ círculos en $s_n$. Las regiones en $s_n$ formado por estos círculos son la región bisectrices y el número máximo de ellos es sólo el de la dimensión reducida problema $R_2(n-1)$. En general,

$$ R_d(n) = R_d(n-1) + R_{d-1}(n-1) $$

La primera ecuación, entonces sigue por inducción. Tenga en cuenta que estos valores concuerdan con los que demostró por @user141614.

$$ \begin{array} ( R_2(n) &= n^2 - n + 2 \\ R_3(n) &= \frac{n^3 + 3n^2 + 8n}{3} \end{array} $$