Un análogo de la suma directa de descomposición de un cofinite subconjunto de los números enteros

Question

Deje $S \subseteq \mathbb Z$ ser tal que $\mathbb Z \setminus S$ es finito , entonces es cierto que existe infinito $S_1,S_2 \subseteq \mathbb Z$ tal que $S_1+S_2=S$, y para cada $s \in S$ , existe únicas $s_1\in S_1 , s_2 \in S_2$ tal que $s=s_1+s_2$ ?

Answer 1

Sí, pero por un motivo trivial. Sólo enumerar $S=\{c_1,c_2,\dots\}$ y la construcción de los conjuntos de $S_1=\{a_1,a_2,\dots\}$ $S_2=\{b_1,b_2,\dots$ inductivamente como sigue. Supongamos que $a_j,b_j$ ya están definidas para $j<m$ Elegir el menos $k$ tal que $c_k$ no es de la especie $a_i+b_j$ y elija $a_m$ muy negativo y $b_m$ muy positivo grande, de modo que $a_m+b_m=c_k$. A continuación, la adición de $a_m$ $S_1$ $b_m$ % # % no destruir las propiedades de $S_2$ (Aquí es el único lugar donde la cofiniteness de $S_1+S_2\subset S$ se utiliza: tenemos que saber que todos los números lo suficientemente grandes como en valores absolutos en $S$, así como sumas $S$, $a_m+b_j$ están allí. De hecho, la (superior) de la densidad de $j<m$ será suficiente) y la representación de la singularidad de si estaban allí antes, pero ahora $1$ serán también puede representarse como una suma.