Demostrando $\{a+b\sqrt{-7}, a,b\in\frac{\mathbb{Z}}{2}\}$ es un dominio euclídeo

Question

Estoy teniendo un poco de dificultad para mostrar que el conjunto de $A=\{a+b\sqrt{-7},a,b\in\mathbb{Z}/2\}$ (es decir, utilizando números enteros+la mitad de los números enteros) es un dominio euclídeo. Veo cómo muchas de las pruebas de trabajo, como por $\mathbb{Z}[i]$$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Sin embargo, estoy un poco confundido, ya que parece que el truco que pasa no funciona para mí. En esas pruebas, que demuestran que algunas resto $r$ y elementos $z,w$ tal que $z=qw+r$. Con esto, usted puede demostrar que $N(r)\leq\frac{3}{4}N(z)$. No estoy recibiendo esta $\frac{3}{4}$, estoy recibiendo $\frac{8}{4}$, o sólo algunas constantes que no es menor que 1. Además, he mirado en algunos de los otros posts cuando su $d=1$mod$4$, pero parece que el uso de la misma norma, así que no sé.

Aquí está mi trabajo: Deje que la norma de un elemento en $A$ $N(a+b\sqrt{-7})=4(a^2+7b^2).$ Ahora no estoy del todo seguro acerca de si multiplicamos este número por 4, pero parece que la norma función de mapa en $\mathbb{N}\cup{0}$, por lo que con el fin de garantizar que esto suceda necesito el 4 para dar cuenta de la mitad de los números enteros está al cuadrado (no importa que $\mathbb{N}$ tiene un bijection con $\frac{\mathbb{N}}{4}$?

Deje $z,w\in A$. Luego están los números reales $c,d$ tal que $\frac{w}{z}=c+d\sqrt{-7}$. Deje $q_1,q_2\in\frac{\mathbb{Z}}{2}$ ser el más cercano de los elementos de a $c,d$ respectivamente. Luego tenemos a $|q_1-c|\leq\frac{1}{4}$$|q_2-d|\leq\frac{1}{4}$. Establecimiento $q=q_1+q_2\sqrt{-7}$$r=\frac{w}{z}-q$, lo $w=qz+rz$. Ahora queda demostrar que $N(rz)=N(r)N(z)\leq N(z)$, y esto es donde está mi problema. Para $N(r)$, mi primera pregunta es ¿por qué en el mundo puedo aplicar la norma a $r$ ya que ni siquiera pertenecen a mi set $A$. Ignorando ese tecnicismo, tenemos que $r=(q_1-c)+(q_2-d)\sqrt{-7}$, lo $N(r)=4[|q_1-c|^2+7|q_2-d|]\leq 4[(1/4)^2+7(1/4)^2=2.$ Si mi 4 de la norma no era parte de mi norma de la función, entonces sería bueno ir, pero le he explicado por qué no estoy seguro de que funciona. Alguien me puede ayudar a averiguar donde me estoy equivocando? Gracias.

Answer 1

Vamos $\omega = { 1 + \sqrt { -7 } \over 2}$, $A = {\mathbb Z}[ \omega]$, y $k = {\mathbb Q}[\omega]$. Vamos $$ N ( a + b \omega ) = (a+ b\omega) (a + b\bar \omega) = a^2 + ab + 2b^2= (a + b/2)^2 + 7/4 b^2, $$for $a, b\in \mathbb P$. Then $N$ is multiplicative, maps $k$ to the positive rationals, and maps $$ to $\mathbb N$.

Supongamos $w$$z \in A$, e $z \ne 0$.Entonces $$ w /z = \mu + \nu \omega,$$ con $\mu,\nu \in {\mathbb Q}.$ Deje $m, n \in \mathbb Z$, ser tal que $\epsilon = \mu -m$$\delta = \nu -n$, tienen absoluta $\le 1/2$ (tendremos que ser un poco más cuidadoso si ambos tienen valor absoluto igual a un 1/2 - ver más abajo). Entonces, si $q = m + n\omega$, tenemos $$ w = q z + r,$$ donde $$ r = z (\epsilon + \delta \omega).$$ $r \in A$, debido a que $w$, $q$, y $z$, e $A$ es un anillo, y $\rho = \epsilon + \delta \omega \in k,$ porque $k$ es un campo en particular, $\epsilon$ $\delta \in \mathbb Q,$ $N \rho$ tiene sentido. Para mostrar que $N r < N z$, sólo necesitamos que $ N \rho < 1$, ya que el $N r = N z N \rho$. Pero $$ N \rho = \epsilon^2 + \epsilon \delta + 2 \delta^2 = \left( \epsilon + {\delta \over 2}\right)^2 + {7\over 4} \delta^2.$$
Ahora, con la ('descuidado') opciones de arriba, $ 7/4 \delta^2 \le 7/16$, e $ (\epsilon + \delta/2)^2 \le 9/16$, tan sólo tenemos que $N \rho \le 1 $, que no es lo suficientemente bueno (necesitamos desigualdad estricta). Sin embargo, el problema (de ninguna desigualdad estricta) sólo se produce cuando los valores absolutos de $\epsilon$ $\delta$ son igual a $1/2$. En ese caso, si queremos mejorar nuestra elección de $\epsilon$ para los que tienen el signo opuesto al de $\delta$, y entonces todo está bien: $N \rho = 1/16 + 7/16 < 1$.