Un límite que implica $\cot$ que aparentemente no deberían existir

Question

Según Wolfram Alpha , $$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \cot x}{x} =1.$$

Pero, ¿existe el límite? ¿Acaso $\frac{x - \cot x}{x}$ ilimitado cerca de $x= n \pi$ para todos $n \in \mathbb{N}$ ?

Suponiendo que el límite no exista realmente, ¿qué podría explicar que Wolfram Alpha piense que sí existe?

Answer 1

Cuando pedimos a Mathematica (10.4) que calcule una serie de potencias para $f(x) = \frac{x - \cot(x)}{x}$ en torno a $x = \infty$ (de orden 10), obtenemos $$ 1 + \cot(x)\left(\frac{-1}{x} + O\left(x^{-12}\right) \right) + O\left(x^{-11}\right) \text{.} $$ Si imaginamos que la cotangente fuera una función muy bonita (je), diríamos que está siendo aplastada por $-1/x$ como $x \rightarrow \infty$ y análogamente para los residuos big-O. Esto sólo deja el " $1$ "en el límite. (Esta propiedad de Mathematica Series[] función de utilizar algunas funciones trascendentales simples en lugar de expandirlas en la serie es frecuentemente irritante).

Si le pedimos a Mathematica que evalúe el límite, nos mira sin comprender

In:  Limit[(x - Cot[x])/x, x -> \infty ]

Out:  Limit[(x - Cot[x])/x, x -> \infty ]

Si le pedimos a Wolfram Alpha que expanda $f$ en una serie en torno a $\infty$ nos mira sin comprender

Series[(x - Cot[x])/x,{x,\infty,2}]

(no series expansion available)

Así que no puedo garantizar que Alpha esté utilizando la expansión anterior para llegar a un límite erróneo. Pero apostaría un dólar a que sí.