Informática fundamental grupos y singular cohomology de variedades proyectivas

Question

Existen métodos generales para la computación en grupo fundamental o singular cohomology (incluyendo la estructura de anillo, con suerte) de una variedad proyectiva (sobre C, por supuesto), si se dan las ecuaciones de definición de la variedad?

Me parece recordar que, si la variedad es suave, se puede calcular el H^{p,q}'s por equipo-y por tanto el H^n por la descomposición de Hodge -- ¿es correcto esto? Sin embargo, esto no funciona si la variedad no es suave, hay técnicas que funcionan incluso para los no-suavizar las cosas?

También me parece recordar algunas argumento de que, al menos si nos restringimos nuestra atención a suavizar las cosas solo, todas las variedades definidas por polinomios de la misma grados será homotopy equivalente. El homotopy debe ser obtenido mediante cambiando poco a poco los coeficientes de los polinomios. Es algo como esto, verdad? ¿Algún tipo de argumento como este trabajo?

Answer 1

Con respecto a su tercer párrafo, sea p : X ---> B ser suave, adecuado mapa de variedades sobre C, y el para qué de ella decir que B es suave. Aquí estoy pensando B es el espacio de lo posible los coeficientes en la ecuación, y las fibras de p son las variedades de las que estamos hablando. A continuación, en los puntos complejos, p es la correcta inmersión entre colectores, y por lo tanto un fibration de espacios topológicos; de modo que las fibras de p será homotopy equivalente a siempre B está conectado, canónicamente homotopy equivalente (hasta 2º orden homotopy) si B es simplemente conectado, y realmente canónicamente homotopy equivalente, si B es contráctiles, por ejemplo, un espacio afín.

Answer 2

Quiero asegurarles que todo lo que en esta situación es computable. Para cualquier real semi-algebraicas conjunto, existe un algoritmo llamado cilíndrico de descomposición, que se rompe en contráctiles piezas, pegado a lo largo de contráctiles de las piezas. Ver los Algoritmos en la Geometría Algebraica Real, por Basu, Pollack y Roy. El $\mathbb{C}$-puntos de $\mathbb{C}$-variedad son, en particular, un semi-algebraicas conjunto, por la restricción de escalares.

Así que usted puede calcular cohomology, y usted puede calcular una presentación de $\pi_1$. Por supuesto, como siempre, al tratar con grupos en términos de generadores y relaciones, probablemente no será computable para determinar si el grupo es trivial, o es isomorfo a algún otro grupo dada por generadores y relaciones.

Estoy bastante seguro de que esto no es cómo alguien realmente calcula estas cosas, aunque. Espero que alguien va a dar una respuesta que refleja el estado actual de la técnica.

Answer 3

Esta es una pregunta interesante. Para repetir algunas de las anteriores respuestas, uno debe ser capaz de conseguir sus manos en una triangulación a través de algoritmos mediante real algebro-métodos geométricos, y por lo tanto calcular singular cohomology y (una presentación) el grupo fundamental. Pero esto probablemente debería ser un último recurso en la práctica. Para el buen variedades proyectivas, como se ha señalado, uno puede calcular la Hodge números escribiendo una presentación de la gavilla de p-formas y, a continuación, aplicar el estándar de base de Groebner técnicas para calcular gavilla cohomology. Esto funciona bastante bien en un equipo. Para clases específicas, son los mejores métodos. Para el buen completa intersecciones, hay una generación de la función de Hodge números debido a Hirzebruch (SGA 7, exp XI), que es extremadamente eficiente para su uso.

Como para el grupo fundamental, si tuviera que calcular para un general suave variedad proyectiva, probablemente yo uso un Lefschetz lápiz para escribir una presentación.

Para singular variedades, uno todavía puede definir Hodge números mediante la mezcla de Hodge estructura en cohomology. La suma de estos números son todavía los números de Betti. Espero que estos Hodge números son todavía computable, pero es un poco desagradable para escribir un algoritmo general. El primer paso es construir un simplicial resolución mediante la resolución de singularidades. Mis colegas que saben acerca de las resoluciones de me aseguran que esto se puede hacer a través de algoritmos ahora días.

(Esta es mi primera respuesta en este foro. Esperamos que va a ir a través de.)

Answer 4

Al parecer, usted puede calcular el h^{p,q}'s de suavizar las cosas, por ejemplo, Macaulay. He aquí un ejemplo: calcular el h^{p,q}'s de un quintic hipersuperficie en P^4.

Answer 5

No es el más limpio de respuesta (si es muy complicado de seguir, puedo limpiar un poco) pero mira en la sección 2.4 (a partir de la página 14) de estas notas de una compleja geometría algebraica curso que tomé. También, la sección/capítulo 6 en la página 33 recoge el hilo después de algunas desviaciones de las curvas. Pero a grandes rasgos, la cohomology (específicamente, la descomposición de Hodge) sólo depende de la Jacobiana Ideal.