He encontrado una prueba que entiendo casi por completo, excepto una parte:
TEOREMA: Si $f$ es uniformemente continua en un intervalo acotado $I$ entonces $f$ también está limitada en $I$ .
PRUEBA: En este caso suponemos que $I$ es de la forma $(a,b), (a,b], [a,b)$ o $[a,b]$ con $a,b \in \mathbb{R}$ . Fijar un $\epsilon > 0$ por ejemplo $\epsilon = 1$ . Desde $f$ es uniformemente continua, existe un $\delta > 0$ tal que:
$|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon = 1$ cuando $x_1, x_2 \in I$ y $|x_1 - x_2| < \delta$
Divide $I$ en $N$ intervalos, $I_1, . . ., I_N$ donde $N$ se elige de forma que $\frac{b-a}{N} < \delta$ .
Sea $z_i$ sea el punto central de $I_i$ . Para cada $i$ y $x \in I_i$ , $|x - z_i| < \delta$ y entonces tenemos:
$|f(x)| = |f(x) - f(z_i) + f(z_i)| \leq |f(x) - f(z_i)| + |f(z_i)| \leq 1 + |f(z_i)|$ . Entonces para $x \in I_i$ ,
$|f(x)| \leq 1 + \max_{1 \leq i \leq N}\{|f(z_i)|\}$ .
Sea $M = \max_{1 \leq i \leq N}\{|f(z_i)|\}$ . Entonces $|f(x)| \leq 1 + M$
QED
Bien, lo único que no tengo claro es cuándo escribimos:
Sea $M = \max_{1 \leq i \leq N}\{|f(z_i)|\}$ .
¿Cómo es que sabemos con certeza que cada $|f(z_i)|$ ¿también está acotado? Veo cómo la presencia de un valor máximo completa la prueba, pero ¿por qué no es posible que tengamos un $|f(z_i)|$ que no tiene límites?
Si alguien pudiera explicarme esto, se lo agradecería mucho.
