Deje $a$ ser un número racional positivo y $n$ ser un entero positivo tal que $\sqrt[k]{a} \notin \mathbb{Q}$$k=2,3,\ldots,n$. Es cierto que el polinomio $x^n - a$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$?
En muchos casos, la respuesta es sí, por ejemplo, utilizando el criterio de Eisenstein. Pero estoy tratando de demostrar que la declaración general.
El uso único de la factorización en $\Bbb{C}[x]$. Usted sabe que los ceros del polinomio en $\Bbb{C}$ $x_k=\zeta^ka^{1/n},$ $\zeta=e^{2\pi i/n}$, $k=0,1,2,\ldots,n-1$. Si $f(x)\in\Bbb{Q}[x]$ fueron un factor de $x^n-a$, luego tenemos $$ f(x)=\prod_{k\in S}(x-x_k) $$ para algún subconjunto $S\subset\{0,1,2,\ldots,k-1\}$.
¿Qué se puede decir sobre el término constante de $f(x)$? Recuerde que debe ser racional, y por lo tanto tienen un racional valor absoluto.
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