En un grupo, no $[G:H] \leq |N|$ siempre implican $[G:N] \leq|H|$?

Question

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $H$ $N$ ser subgrupos de $G$. Supongamos que $[G:H] \leq |N|$. ¿Esto siempre implica que $[G:N] \leq |H|\ $? Lagrange del teorema nos dice que esto es cierto en el caso finito. Lo que en general?

Answer 1

No se mantienen en general. Por ejemplo, Considere el $G =Z \times C_2=\langle a,b\rangle$. Tomamos $H = \langle a^4\rangle$$N = \langle b\rangle$, por lo que $|G| = |H| = |G:N| = \aleph_0$, mientras que $|G:H| = 4 \not\le |N| = 2$.