La manera más intuitiva de entender la aceleración es entender en términos de series de Taylor de las expansiones
$$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(u)}{n!} (t-u)^n$$
Un buen nivel de entrada de la discusión sobre la manera en que se aplica la expansión en series de Taylor a la cuestión de la posición-velocidad-aceleración se puede encontrar en este breve artículo de este sitio web atribuye a S. A. Fulling.
Si hacemos una revisión de Taylor Teorema comenzamos con la evaluación de la serie con $u=0$, Wolfram muestra la expansión como:
$$f(t) = f(0) + tf'(0) + \dfrac{t^2}{2!}f''(0) + \dots + \dfrac{t^{(n-1)}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0) + \int_0^t \dfrac{(t-u)^{(n-1)}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(u) du$$
Si usted mira los tres primeros términos, usted debe ver la similitud:
$$x(t) = f(t) =x_0 + v_ot + \dfrac{1}{2}a_0t^2$$
Ahora considerar en primer lugar la expansión de la $\frac{1}{n!}$ inversa factorial términos.
$$\dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \dfrac{1}{5!} + \dots = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{120} + \dots$$
luego de considerar la suma de los términos después de que el $\dfrac{1}{2}$ plazo:
$$\sum_{n=3}^{\infty} \dfrac{1}{n!} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n!} = e - 2.5 = 0.218282\dots$$
La suma de todas la inversa factorial términos después de $\frac{1}{2!}$ solo $0.218282\dots$ que es claramente inferior a $\frac{1}{2}$, así que a menos que las derivadas de orden mayor de $f^{n}(u)$ al $u=0$ son sustanciales, entonces el efecto general de las derivadas de orden mayor nunca será mayor que la primera no lineal factor de $t^2$.
Volviendo a la expansión de Taylor, el objetivo del curso es la determinación de los valores de $x_0$,$v_0$,$a_0$. Estos se dan con frecuencia, o puede ser determinable por la observación, pero en ningún caso puede ser entendido como constantes de integración. Por ejemplo, como se explicó en el anterior ejercicio, uno podría empezar por la integración arbitraria constante para la tercera derivada de alguna función suponiendo que el real integral fue de menos de la integral de una constante arbitraria:
$$\int_0^t f'''(u) du \le \int_0^t M du$$
tal que
$$f''(t) + a_0 \le Mt$$
la realización de estas integrales para las sucesivas derivados de podemos, finalmente, encontrar la forma de la ecuación,
$$|f(t)-x_0 + v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2| \le \dfrac{1}{6}M|t|^3$$
Por el ejercicio, esto muestra que la gráfica de $f(t)-x_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_0t^2$ entre dos curvas de $\pm \frac{1}{6}M|t|^3$ el cual debe ser muy juntos en $t=0$.
Desde $M = f'''(0)$, si $$f'''(0) = \epsilon$$ with $$\epsilon \approx \frac{1}{\infty}$$ entonces podríamos decir
$$f(t)\approx x_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_0t^2$$
Además, si la derivada de la expansión se muestra con los términos de orden superior que cancelar, o son lo suficientemente suprimido, entonces los términos de orden superior pueden ser ignorados.
Sin embargo, los valores específicos de la $x_0$,$v_0$,$a_0$ no se sabe menos de los dominios de la integración y las condiciones de contorno son especificados.
En cualquier caso, uno puede seguir para expandir la posición de la variable con respecto al tiempo y encontrar ese "idiota" es la tercera potencia o el tiempo y "Aplastamiento" (o "Snap") es el cuarto poder en la expansión. Estos de orden superior de las contribuciones, y todas las otras de orden superior contribuciones, tienen una disminución de la contribución a la ecuación total atribuible a la $n!$ factorial término en el denominador de la suma. Esta es una buena analogía para entender el concepto de la constante de acoplamiento y cómo el acoplamiento puede disminuir a medida que se expande perturbativa sobre una solución de una ecuación (por ejemplo, una función).
Así que la aceleración es el primer no-lineal plazo en la expansión de la función de relación de posición a tiempo. Dado que los términos de orden superior no contribuyen más que el primer no-lineal plazo (aceleración) para ciertos $f(t)$, sus efectos pueden ser ignorados en la mayoría de los casos (aunque en algunas situaciones, tales como ascensor diseño, jerk es una consideración, y cuando uno se pone en el diseño de naves espaciales, las derivadas de orden mayor debe ser considerado así).
Cabe señalar que $f(t)$ tiene unidades de posición (por ejemplo, m = metros), ya que la expansión de Taylor es de la $t$ variable, y el $t$ variable se eleva a un orden superior en cada una de las sucesivas plazo, la constante debe llevar unidades que cancelar las unidades de tiempo para cada término. Desde $a_0$ está asociado con $t^2$, se debe llevar a cabo en unidades de $\frac{m}{s^2}$ a fin de garantizar que $f(t)$ está en unidades de $m$.
