He tenido un problema de comprensión de esto antes. Aquí es lo que puedo ofrecer.
La paradoja de Russell dice que es imposible definir el conjunto $U$ de todas las cosas, si $U$ es considerado como una de "todas las cosas". Por imposible, me refiero a que si usted permite que $U$ a existir, va a violar uno de los muchos intuitiva reglas. Puede que, como resultado, se convenza de que tal vez algunos "intuitivo" las reglas no se supone que se mantenga como una forma de resolver la paradoja de Russell.
Una propiedad $x \notin x$ es bastante agradable, por lo que intuitivamente no debería suponer un problema si elijo un subconjunto $V \subseteq U$ mediante la selección de elementos que satisfacen $x \notin x$. Sin embargo, la paradoja de Russell dice que si se definen $V$, al igual que este, no sé si $V \in V$ o $V \notin V$. Se considera que esta es una contradicción con nuestra hipótesis básica que usted debe ser capaz de decir si $x \in y$ o $x \notin y$ si $y$ es un conjunto.
Hay varias maneras de resolver la paradoja de Russell. Voy a enumerar algunos de aquí.
- Algunos pueden pensar que la declaración como $x \in x$ es realmente no es tan agradable. De hecho, un conjunto puede contener sólo a sí mismo si es infinitamente anidada (informalmente hablando), así que no es difícil para mí para convencerme de que yo no le encuentro mucho uso de que en la vida real. Podemos elegir no permitir conjuntos que se contienen a sí mismos de ser definida, es decir, niegan la existencia de tales conjuntos. Esta restricción se representará la cuestión Es"$x \in x$? " una instrucción no válida. Esto se resuelve de la paradoja de Russell haciendo que la definición de $V$ no válido. Pero sin embargo prácticamente a futuro esto es, sabemos conscientemente que perdemos la capacidad de definir algunos de los conjuntos que hemos sido capaces de definir.
- Si se le cae el supuesto de que cualquiera de las $x \in y$ o $x \notin y$ debe ser verdad, entonces, la existencia de $V$ no parece tan problemático. Esta puede ser una de las razones que la gente inventó intuitionistic lógica.
- Puede expandir el universo mediante la adición de más cosas que no son consideradas "conjuntos", a continuación, se definen $U$ como una "colección" de todos los conjuntos, y $V = \{x \in U\ |\ x \notin x\}$. De esta manera, $U$ no contiene "todo", pero sí contiene cada conjunto. $U$ sí no puede ser un conjunto, o la definición de $V$ causa una paradoja. Esta solución se utiliza bastante. Los objetos en este sistema se llama "clases". Una clase que pertenece a otras clases que se llama un conjunto. Una clase que no es una serie que se llama una "clase". Tenga en cuenta que usted todavía puede tener la clase de todas las clases, o la paradoja de Russell aparecerá de nuevo, con la palabra "clase" en sustitución de "set".
De todos modos, la raíz de todos los males es la auto-referencia. Creo que es un tema común en todas las ramas de las matemáticas.
