Trig sustitución; ¿por qué podemos ignorar el valor absoluto?

Question

Si tenemos que integrar $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$ and we substitute $x=\sin \theta$ then we eventually have to take the square root of $\cos^2x$ which is equal to $|\cos x|$. But in my textbook and class lectures, we simply remove the absolute value sign and replace it with $\cos x$.

¿Por qué hacemos esto? No entiendo cómo podemos hacer esto.

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Es un sistema muy fácil de error suponer que la $\sqrt{u^2} = u$ (si el $u$ en cuestión es $\cos^2 \theta$ o algo más). Por supuesto, la ecuación es verdadera si $u$ es positivo, pero entonces debemos tener una una buena razón para decir $u$ es positivo.

Así que empezamos con la integral $$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx,$$ y nos decidimos a probar el trigonométricas sustitución de $x = \sin\theta$. Esto nos da $$ \int \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos^2\theta}}\, \cos\theta \, d\theta. $$ Pero antes de continuar, vamos a considerar qué tipo de valores de $x$ podría tener y cómo nuestro sustitución podría relacionar los valores de $x$ con los valores de $\theta$ en esta nueva integral.

Estoy asumiendo que usted no está haciendo el análisis complejo de aquí, que es, real sólo se permiten los números, no los números complejos. Por lo $\sqrt{1-x^2}$ sólo se define para $-1 \leq x \leq 1,$ porque si $|x| > 1$ $1 - x^2$ es negativo.

Ahora, si nos permitir $x$ a variar dentro del rango de $-1 \leq x \leq 1,$ ¿cuál es el rango correcto de $\theta$? Queremos un uno-a-uno de la relación entre el los valores de $x$ $-1 \leq x \leq 1$ y escogido para nuestra gama de valores de $\theta$. Por ejemplo, $x = -1$ debe corresponder exactamente con un valor de $\theta$ dentro de la gama de valores que permiten la $\theta$.

Claramente si $x = -1$$\sin\theta = x$, debemos tener $\theta = -\frac\pi2 + 2n\pi$ donde $n$ es un número entero. Supongamos que elegimos $n = 0$, lo $\theta = -\frac\pi2$. Si se aumenta el $\theta$ a $\frac\pi2$, $x$ aumenta hacia el $1$. Así que vamos a $\theta$ variar dentro del rango $-\frac\pi2 \leq \theta \leq \frac\pi2.$

Pero si $-\frac\pi2 \leq \theta \leq \frac\pi2$, a continuación,$\cos\theta \geq 0$, y la declaración de que $\sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$ está justificada. Todo se realiza sin problemas, desde allí, en el camino que ya han (presumiblemente) se ve en su libro de texto y conferencias.

¿Cómo podemos justificar la suposición de que $-\frac\pi2 \leq \theta \leq \frac\pi2$? No es una suposición como una definición de nuestra parte. Cuando se sustituye una variable con respecto a otra variable, podemos llegar a decir qué rango de valores de la nueva variable a la que queremos que se refieren a el rango de valores de la variable anterior podría tener, siempre que estos están en consonancia con la función que se optó por utilizar para relacionar las dos variables.

Ahora acaba de salir de la curiosidad, supongamos que nos había hecho la sustitución sólo de manera un poco diferente? Nos podría haber intentado dejar $\theta$ variar dentro del intervalo de $\frac\pi2 \leq \theta \leq \frac{3\pi}2$. Estos valores de $\theta$ también nos dan todos los valores de $x$ que podamos necesitar. Para estos valores de $\theta$, $\cos \theta \leq 0$, por lo $\sqrt{\cos^2\theta} = -\cos\theta$. Nuestros integral, a continuación, se convierte en $$\int \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos^2\theta}}\, \cos\theta \, d\theta = \int\sin \theta \, d\theta = \cos\theta + C.$$ Ahora queremos revertir la sustitución con el fin de obtener la respuesta a la pregunta original de la integral en términos de $x$. Desde $\cos\theta \leq 0$, la sustitución único coherente con nuestro original sustitución $$\cos\theta = -\sqrt{1-x^2}.$$ Llegamos a la conclusión de que $$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -\sqrt{1-x^2} + C,$$ que es el mismo resultado tenemos cuando dejamos $0 \leq \theta \leq \pi.$

También tendríamos el mismo resultado si se trató de $-\frac{3\pi}2 \leq \theta \leq -\frac\pi2$ o $\frac{7\pi}2 \leq \theta \leq \frac{9\pi}2$. Eso es bueno; la solución a la integral no es un mero accidente de exactamente lo que la sustitución elegimos.

Answer 2

Estamos dejando $\theta=\arcsin x$. Por lo $\theta$ rangos de$-\pi/2$$\pi/2$. Durante este intervalo, el coseno es negativo.

Answer 3

Aunque en la mayoría de los casos signo positivo es suficiente para ver cómo el integrando magnitud varía, nosotros, en el hecho de ignorar, ni quitar el doble signo de $ \pm $ frente signo radical. Ya sea signo se entiende implícito. La integral anterior es estrictamente

$$ \pm \sqrt{ 1-x^2} + C $$

que usted puede tener gusto para llamar menos o más para que se corresponda con + o - de la original integrando .

Si integramos $ \frac {1}{\sqrt {x^2}} $ en tal situación (arriba a la constante de integración) $ \; \log x $ e $ \dfrac {1}{\log x}. $

EDIT 1:

Sin referencia a $\theta$ de sustitución de dos curvas pueden ser atraídos el uno por encima del eje x y otro por debajo del eje x. Para los primeros, el área bajo la curva es > 0, y por último, < 0.