¿Cuáles son los requisitos previos necesarios para aprender Análisis Real?

Question

Ya tengo una base bastante sólida en cálculo simple y multivariable. Pero, ¿cómo puedo saber si estoy preparado para abordar el análisis real?

Antes de entrar en el Análisis Real, quiero saber todo lo que necesito saber primero. Leer un libro, pero tener que buscar fuentes sobre los aspectos básicos que me he perdido, es una completa pérdida de tiempo.

1. Por favor, aconséjenme sobre todo lo que necesito saber antes de estudiar Análisis Real.

2. Por favor, esboce lo que se puede esperar del Análisis Real, y recomiende un libro de texto para principiantes.

Answer 1

Bueno, una "sólida" formación en cálculo monovariable y multivariable debería ser más que suficiente para intentar aprender Análisis Real. Yo tengo una base muy débil en cálculo multivariable, pero he hecho un curso decente de cálculo del primer semestre y no me resulta difícil avanzar estudiando Análisis Real por mi cuenta. Hice una investigación similar no hace mucho. Esto es lo que tengo que decirte.

No sé si has hecho antes un curso de matemáticas puras debidamente riguroso. No considero que las unidades de cálculo de primer año sean adecuadamente rigurosas. Quizá un pequeño curso de Álgebra Abstracta o un buen curso de Álgebra Lineal afinen tus fundamentos lógicos. Y esto es prácticamente todo lo que necesitas. Una buena comprensión de la lógica matemática -cómo negar enunciados complicados, cómo extraer implicaciones directas, contradicciones, una buena idea de lo que hay debajo de un enunciado, identificar afirmaciones implícitas- es todo lo que necesitas en mi opinión.

Y esta es mi humilde sugerencia. La lectura de un solo libro no le permitirá comprender bien un tema como el análisis. Debe buscar constantemente otras fuentes. Tendrás que hacerlo, por ejemplo, cuando leas los capítulos de Topología Básica. La topología no es un prerrequisito para el análisis porque, admitámoslo, no tiene sentido. Así que te sugiero que busques en múltiples libros, apuntes, vídeos y artículos en tu camino a través del Análisis. Es un campo muy amplio. Ningún libro lo contiene todo. Hay varios enfoques del tema, cada uno con sus propios méritos. Aquí hay algunos libros que he hojeado y creo que los he ordenado según su dificultad. Quizá alguien más competente pueda verificarlo.

1. Stephen Abbott - Comprender el análisis (2001)
2. Robert S. Strichartz - La vía del análisis (2000)
3. Otra introducción al análisis - Bryant (1990)
4. William R. Wade - Introducción al análisis (2004)
5. Robert G. Bartle - Los elementos del análisis real, segunda edición (1976)
6. Análisis matemático real por Charles Chapman Pugh (2002)
7. Rudin, W. - Principios del análisis matemático (1976)

El último es el texto de referencia para un primer curso de análisis. Yo prefería Bartle, aunque creo que muchos cuestionarían mi elección. Cada uno de estos textos es muy bueno y tiene sus propios méritos. Debería hojearlos y elegir el que más le convenga. Suerte con sus estudios.

PD: Quizá deberías mirar aquí et aquí para más referencias.