Empuje hacia delante de la línea de paquete y de los asociados divisor

Question

Deje $X$ $Y$ ser suave esquema de más de un dominio de Dedekind (o más de un campo, si prefiere). Deje $f \colon X \to Y$ ser finito y tv de morfismos y deje $D$ ser un divisor en $X$. Desde $f$ es finito plana, tenemos un divisor $f_\ast D$ $Y$ y además la gavilla $f_\ast \mathcal O_X(D)$ es invertible (esto no es cierto, ver a continuación).

Es cierto que $f_\ast \mathcal O_X(D)$ es invertible gavilla asociados a $f_\ast D$?

Editar La pregunta no tiene sentido, ya que $f_\ast \mathcal O_X(D)$ es localmente libre, pero no es invertible, como Bruno Joyal señaló. De hecho, su rango es el grado de $f$, permítanme decir $n$. Así, la nueva pregunta es la siguiente:

es cierto que $\bigwedge^n \left ( f_\ast \mathcal O_X(D) \right )$ es invertible gavilla asociados a $f_\ast D$?

Answer 1

La conversión de mi comentario con una respuesta como se sugirió anteriormente:

Si $f : X \to Y$ es finita mapa de curvas suaves a través de una algebraicamente cerrado de campo (que es necesariamente plana), y $D$ es un divisor de $X$, $\mathscr{L}(D)$ la línea asociada paquete, a continuación, $\det(f_* \mathscr{L}(D)) \cong (\det f_* \mathcal{O}_X) \otimes \mathscr{L}(f_*D)$ donde $\det$ es la máxima potencia exterior de un local libre de la gavilla. En particular, $\det(f_* \mathscr{L}(D)) \not \cong \mathscr{L}(f_* D)$ en general.