Expresar el polinomio $x^3-4x-4$ como una combinación lineal de $x-2$ , $(x-2)^2$ y $(x-2)^3$

Question

Expresar el polinomio $x^3-4x-4$ como una combinación lineal de $x-2$ , $(x-2)^2$ y $(x-2)^3$

He buscado por todas partes pero todavía no entiendo bien la pregunta. Sé que una combinación lineal es como una matriz que consiste en una combinación específica de vectores multiplicada por un coeficiente. En la forma... $$a_1v_1+a_2v_2 +a_3v_3 , \text {for }a_1 \,to \, a_n \, real \, numbers$$

Así que para expresarlo como la pregunta lo hace, creo que tengo que encontrar los coeficientes fuera... $$x^3-4x-4 = a(x-2)+b(x-2)^2 +c(x-2)^3$$

Pero no estoy muy seguro de ello o de dónde ir. Pensé que tenía que involucrar vectores y matrices de alguna manera. Por favor, ayúdenme, realmente quiero entender bien este contenido, he tenido problemas para captar el contenido de esta nueva clase.

También hemos estado hablando sobre las bases y el alcance. Creo que un vector forma la base de un sistema. Si para un $R^n$ si para 3 filas (tienen 3 pivotes que muestran 1 = 0, después de reducir la fila) entonces los vectores/columnas correspondientes a esas filas constituyen una base para el sistema y el sistema, por lo tanto, contiene/abarca todo de "R^3".

Tienen razón, la pregunta que me hicieron fue inconsistente. Le pregunté a la profesora que luego admitió que había una errata y reescribió la pregunta. Creo que ya tengo mucho en lo que trabajar con esto.

En realidad quería preguntar

Expresar el polinomio $x^3-2x-4$ como una combinación lineal de $x-2$ , $(x-2)^2$ y $(x-2)^3$

A la que tengo C=1, B=6, a=10

Answer 1

No se puede hacer. Para cualquier combinación lineal de $x-2$ su cuadrado, y su cubo tiene $2$ como raíz, pero nuestro polinomio dado no.

Podemos hacerlo si además de los polinomios dados utilizamos $(x-2)^0$ Es decir, $1$ .

Answer 2

Tal como está escrito, es imposible. Haga la sustitución $x=2.$ El lado derecho se convierte en $0,$ pero el lado izquierdo no.

Desgraciadamente, los tres términos que te dan no constituyen una base para el espacio de polinomios de grado no superior a $3.$ Se necesita un cuarto elemento: cualquier constante distinta de cero servirá.

Answer 3

Aviso, $$x^3-4x-4=a(x-2)+b(x-2)^2+c(x-2)^3$$ $$x^3-4x-4=cx^3+(b-6c)x^2+(a-4b+12c)x-2(a-2b+4c)$$ Ahora, comparando los coeficientes correspondientes, obtenemos $$c=1$$ $$b-6c=0\iff b=6\times 1=6$$ $$a-4b+12c=-4\iff a=-4+4(6)-12(1)=8$$ Pero, estos valores tienen que satisfacer $$-2(a-2b+4c)=-4$$$$ -2(8-2(6)+4(1))=-4 $$ $$ 0 \neq -4 $$ Hence, the given polynomial $ x^3-4x-4 $ can't be expressed in the linear form of $ (x-2)$

Answer 4

Tienes razón, estamos buscando números $a,b,c$ para que $x^3-4x-4=a(x-2)+b(x-2)^2+c(x-2)^3$ . Empecemos por comparar los coeficientes: En el lado izquierdo (LHS), el coeficiente delante de $x^3$ es $1$ . En el lado derecho (RHS), el único lugar donde podemos obtener algo con $x^3$ en ella es de la $(x-2)^3=x^3-6x^2+24x-8$ porción. Por lo tanto, sabemos que $x^3$ (del lado derecho) es igual a $cx^3$ (del LHS), y por lo tanto $c=1$ . Entonces, podemos continuar este proceso para encontrar el resto de los coeficientes, comparando los coeficientes delante de $x^2$ , $x$ y las partes que son constantes en ambos lados. Como André y Cameron han señalado, en este caso concreto, no hay soluciones. Sin embargo, ésta es una buena forma general de resolver este tipo de problemas: comparar los coeficientes de ambos lados. En este caso, si seguimos avanzando a ciegas con nuestro método, deberíamos llegar finalmente a una contradicción, en la que un coeficiente tiene que ser igual a dos números distintos.

Answer 5

También se necesita un término constante, si no cuando $x=2$ tenemos $LHS=p(2)=-4$ pero para cualquier combinación lineal tenemos $RHS=0$ .

Sin embargo, esto no es entonces una combinación lineal de las potencias dadas de $(x-2)$ .

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Si permites el término constante, entonces:

Así que $$p(x)=x^3-4x-4=a_0+a_1(x-2)+a_2(x-2)^2+a_3(x-2)^3 \tag{1}$$

Evaluar en $x=2: 8-8-4=a_0 \implies \boxed{a_0=-4}$

Tomando la derivada de (1):

$p'(x) = 3x^2-4 = a_1 + 2a_2(x-2) + 3a_3(x-2)^2 \tag{2}$

Evaluar (2) en $x=2$ :

$3(4)-4 = a_1 \implies \boxed{a_1 = 8}$

Tomar más derivados le permitirá encontrar $a_2,a_3$ .