Encontrar todos totalidad de las funciones de $f(z)$ tal que $|f(z)|=1$ $|z|=1$
Sugerencia: en Primer lugar demostrar que $f(z)$ es un polinomio.
Claramente no se puede utilizar de Cauchy Estimaciones para demostrar que $f(z)$ es un polinomio, la otra manera es demostrar que $f(z)$ tiene un polo en el infinito de la que no estoy seguro de cómo demostrar que existen otras formas de demostrar que una función es un polinomio ?
Gracias !
Para un sistema de baja tecnología manera de mostrar a $f$ tiene que ser un polinomio:
La función $$ z \mapsto \frac{1}{\ \overline{f(1/\,\overline{z}\,)}\ } $$ es analítica en la puntured plano y está de acuerdo con $f$ sobre el círculo unidad, por lo que tenemos $$ f(z) = \frac{1}{\ \overline{f(1/\,\overline{z}\,)}\ }\,. $$ Si $f$ estaban a tener un cero en algunos $z \ne 0$, luego por la simetría $f$ tendría que tener un polo en el punto de $1/\overline{z}$. Esto es imposible, ya que $f$ es todo. Por lo tanto, la única posibilidad para$f(z) = 0$$z = 0$. De nuevo el uso de la simetría, esto significa que $\lim_{w \to \infty}f(w) = \infty$. (Si $f$ no tiene ceros, a continuación, mediante el uso de la simetría se ve que es limitado y de manera constante.)
Hay un muy bien conocido teorema que dice $\lim_{w \to \infty}f(w) = \infty$ es suficiente para demostrar que $f$ es un polinomio. Los datos son los siguientes: 1) se muestra el uso de compacidad que $f$ sólo puede tener un número finito de ceros $a_1, a_2, \ldots, a_n$; 2) Dividir todos los ceros, dejando a toda una función sin ceros; 3) invertir, dando una función que está delimitada por todas partes por un polinomio; 4) extendido Por el teorema de Liouville , es un polinomio, pero sin ceros, por lo que es una constante. Por lo $\frac{(z - a_1)(z-a_2)\cdots(z-a_n)}{f(z)}$ es una constante, por lo $f(z)$ es un polinomio.
Ahora sabemos $f$ es un polinomio.
Para mostrar que $f(z)$ tiene que ser un monomio, tenga en cuenta que nosotros ya demostró que la $f$ puede tener a más de uno distinto de cero, en cuyo caso tiene que ser en $z = 0$. Por lo $f(z) = a_n z^n$. Pero por los criterios establecidos en el círculo de $|a_n| = 1$.
Por lo tanto,$f(z) = a_n z^n$$|a_n| = 1$.
Aquí es otra forma de frase Igor Rivin y Sourav D respuestas, que podría hacer que se parecen más elemental y "detectable".
Los datos básicos que se deben conocer son:
un no-cero de la función tiene sólo un número finito de ceros contenida en la unidad de disco (ya que los ceros son un subconjunto discreto de $\mathbb C$);
si $|a| < 1$, $(z-a)/(1 - \overline{a} z)$ es un holomorphic función en la unidad de disco, tomando el círculo unitario para sí mismo, y con un cero en $a$.
La combinación de estos, encontramos que para nuestra función dada $f$ como en la pregunta, no es un polinomio $g$ con el mismo ceros como $f$ (y con las mismas multiplicidades), que también satisface $|g| = 1$ al $|z| = 1$.
La relación de $f/g$, entonces no tiene ceros en el disco unidad, y todavía toma el círculo unitario para sí mismo. Como Igor Rivin indica en su comentario, un argumento con registros de y máximo módulo muestra que esta relación es constante, y por lo tanto que $f$ es una constante (de módulo de $1$) veces $g$. (O, como Sourav D notas, usted puede aplicar max. y min. módulo directamente a $f/g$.)
Por último, el hecho de que $f$ es toda la pone bastante severas restricciones en los valores de $a$ que pueden aparecer en $g$!
Así que, básicamente, con el fin de aplicar la sugerencia, usted tiene que construir el candidato polinomio, y hacer esto por una consideración de los ceros de $f$ en la unidad de disco.
Desde $|f|=1$ sobre el círculo unidad y $f$ es todo, si $f$ es no-fuga en el interior de la unidad de disco, a continuación, por el máximo y el mínimo del módulo de principio a $f \equiv 1$ dentro de la unidad de disco. Por lo tanto $f$ tiene al menos un cero en la unidad de disco. También se $f$ no tienen conjunto infinito de ceros en el interior, como no puede ser de punto de acumulación de ceros, ya sea en el interior o en la unidad de disco. Por lo tanto $f$ es curva y tiene un conjunto finito de ceros en el interior de la unidad de disco.
Cualquier función tiene un Blaschke representación de los productos :
$$f(z) = z^m g(z) \prod_{j=1}^{\infty} \dfrac{-a_j}{|a_j|}\dfrac{a_j-z}{1-\bar{a_j}z}$$
asumiendo $f$ tiene un cero de orden $m$ en el origen y $a_j$ son los otros ceros, contando multiplicidad. $g(z)$ es un no-fuga delimitada holomorphic función en la unidad de disco. Pero de acuerdo con el problema a $|g(z)|=1$ sobre el círculo unidad. Por lo tanto por el argumento anterior $g(z) \equiv 1$. También se $f(z)$ tendrá pol $z = 1/\bar{a}_j$, pero $f$ es todo. Por lo tanto $f(z) = z^m$$m \in \mathbb{N}$.
PS: Cuando tomé un curso de postgrado en Análisis Complejo, producto de Blaschke representación fue dada como una tarea de ejercicio. Creo que va a ser en el ámbito de aplicación del plan de estudios está siguiendo así.
$f$ es analítica en la cerrada de la unidad de disco, siendo todo, por lo que se puede escribir como un producto de Blaschke, a partir de la cual el resultado se sigue inmediatamente (que puede ser lo escrito, no es muy difícil, cuya prueba está esbozado en el artículo de la wikipedia).
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