Los espectros de los anillos no son el tipo correcto de espacios para comprender fundamentales a través de los grupos, mayor homotopy grupos de costumbre (co)homología de grupos, etc. Esto es fácil de ver ya en el caso de la Zariski afín a la línea de más de un campo. La única conjuntos cerrados son finitos...entonces, ¿qué son la continua mapas del círculo, en el camino a calcular el grupo fundamental? Bien, hay toneladas-en particular, cualquier función con finito de fibras ningún momento se ha infinito inversa de la imagen) es continua, así por ejemplo, cualquier permutación de que el círculo es un mapa continuo desde el círculo afín a la línea de $\mathbb{C}$. Claramente esto es totalmente ridículo, y no nos dan ninguna información útil.
El problema puede ser entendido menos concreta que los esquemas no son realmente espacios topológicos. En otras palabras, no es de ningún interés, en general, para el estudio continuo de los mapas entre la cruda espacios topológicos de los esquemas. Por ejemplo, existe el teorema (tal vez alguien puede recordarme el nombre adjunto) que todos los llamados espectral espacio, es decir, cada sobrio $T_0$ quasicompact espacio con una base de quasicompact abre cerrado bajo intersecciones finitas, es homeomorhic para el espectro de un anillo. Pero todos quasicompact esquemas espectrales de los espacios, así, por ejemplo proyectiva esquemas son equivalentes, como espacios topológicos, para afín-este enfoque nos dice absolutamente nada acerca de la geometría.
Desde finales de la década de los '60, consideraciones como éstas, así como muchos otros, han llevado a los geómetras de Grothendieck sobre las generaciones a ser un poco escéptico de que el valor conceptual de la localmente anillado enfoque de sistemas. Podría decirse que es más claro para tomar el "functor de" puntos de enfoque, que tiene la ventaja de evitar preguntas inapropiadas sobre espacios topológicos, ya que éste no aparezcan explícitamente. Esta es también la única manera de estudiar algebraicas, espacios y pilas, útil superior abstracciones en la moderna geometría.
En cualquier caso, uno no quiere análogos en la geometría de las herramientas más útiles de la topología de los problemas en los primeros párrafos nos dicen que necesitamos un menos ingenuo generalización. Hay, por ejemplo, una expresión algebraica ("etale") grupo fundamental que utiliza la cobertura de la perspectiva del espacio en la topológico grupo fundamental como punto de partida. Así que uno intenta definir un grupo de cubrir los esquemas de más de un esquema dado, y, en particular, a directamete generalizar cubriendo espacios. Esto funciona bastante bien, y está relacionado con el primero algebraicas analógica de singular cohomology (que tiene los mismos problemas que el grupo fundamental, ya que, finalmente, depende de la continua mapas de los subespacios de espacios vectoriales reales,) es decir, etale cohomology. Ahora hay muchas otras cohomology teorías de variedades y esquemas, que tienen muchas de las mismas propiedades topológicas cohomology teorías. Homotopy teoría es más difícil de generalizar, más allá de que el grupo fundamental, pero es posible, en cierta medida, mediante el estudio de algo como un todo complejo (simplicial) de los esquemas, y utilizando el resumen homotopy la teoría de los complejos de este tipo para entender cómo los esquemas de encajar. Esto está vinculado a la teoría de motivos, que durante mucho tiempo ha sido visto como uno de los objetivos más ambiciosos de todo el enfoque moderno de la geometría algebraica, y que todavía es un área activa de investigación.
