Siete segmentos de línea, con longitudes no mayores de 10 pulgadas, y no inferior a 1 pulgada, se dan.

Question

Siete segmentos de línea, con longitudes no mayores de 10 pulgadas, y no inferior a 1 pulgada, se dan. Mostrar que uno puede elegir tres de ellos para representar los lados de un triángulo.

Answer 1

Deje que las longitudes de siete de los segmentos de línea se $l_1, l_2, l_3, \dotsc, l_7$ (débilmente) orden ascendente. Ahora suponga que el triángulo no puede ser formado a partir de estas longitudes. Además, vamos a $l_2 ≥l_1 ≥1$ (la longitud mínima,sugerido por meelo).

Entonces $l_3 > 2$, $l_4 > 3$, $l_5 > 5$, $l_6 > 8$, $l_7 > 13$ (porque si $l_i + l_{i+1} \geq l_{i+2}$, entonces podemos formar un triángulo). Pero sabemos que $l_i \leq 10$, para tener así un triángulo tiene que ser formado.

Answer 2

Sugerencia: Suponga $a < b < c$ son de tres longitudes de que no se forma un triángulo. A continuación,$c > a+b > 2a$.

Answer 3

Sugerencia dada por @MJD fue realmente útil

Si el número de segmentos de línea de 1 a 7, y supongamos que no hay tres de ellos puede ser utilizado para hacer un triángulo.

Inicio de la seg. 1 y seg.2 . Como usted puede utilizar seg. 3 para hacer un triángulo de seg.1 y seg. 2 de modo que la longitud de la seg. 3 debe ser estrictamente de más de 2 pulgadas.

Continuar de la misma manera que se obtenga (estricto) de los límites inferiores en longitudes de

seg. 1 \begin{align*} P(1)P(2)\cdots P(n) &= \prod_{x=1}^n \big( ax^k + bx^{k-1} + R(x) \big) \\ &= \prod_{x=1}^n ax^k \prod_{x=1}^n \bigg( 1 + \frac bx \bigg) \prod_{x=1}^n \bigg( 1 + \frac{R(x)}{ax^k(1+b/x)} \bigg). \end- 1 pulgadas

seg 2 --------1 pulgadas

seg 3---------2 pulgadas

seg 4---------3 pulgadas

seg 5---------5 pulgadas

seg 6---------8 pulgadas

Séptimo segmento no puede ser mayor de 10 pulgadas, entonces puede ser usado para hacer un triángulo con dos de los anteriores 6 segmentos. (seg. 5 y seg. 6 por ejemplo)

Ahora la pregunta de cómo utilizar el principio del Palomar aquí...? Yo soy lo siento, no responder a su pregunta completamente

Answer 4

Secuencia mínima (degenerado triángulos):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Si cualquier número se redujo un triángulo que forman. Por lo tanto, no hacer triángulos con 7, el límite superior debe ser de 13.

No veo cómo el principio del palomar aún se aplica.