¿Tienen todos los campos vectoriales no conservativos (en el espacio 2) superficies correspondientes que sean periódicas o discontinuas?
No. Los campos vectoriales no conservativos pueden producirse a través de muchos otros potenciales vectoriales. En Descomposición de Helmholtz un campo vectorial suave $F$ puede descomponerse en un campo vectorial conservativo más una rotación de algún otro campo conservativo: $$ F = \nabla \phi + \nabla^{\perp} \psi, $$ donde $\nabla^{\perp}$ es como incrustar el operador curl 3D para una función escalar en 2D: $$ \boldsymbol{C}^{1}(\mathbb{R}^2) \hookrightarrow \boldsymbol{C}^{1}(\mathbb{R}^3), \\ \nabla^{\perp} \psi(x,y) : = \left(\frac{\partial \psi}{\partial y},-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\mapsto \left(\frac{\partial \psi}{\partial y},-\frac{\partial \psi}{\partial x},0\right) = \nabla\times (0,0,\psi). $$ Ignorando la parte conservadora de $F$ podemos producir todo tipo de parte no conservadora de $F$ en $\mathbb{R}^2$ utilizando un potencial muy "suave $\psi$ ni periódica ni discontinua. Por ejemplo $\psi = e^{-x^2-y^2}/2$ $$ F = \nabla^{\perp}\psi = (- y\psi, x\psi). $$ Puedes comprobar fácilmente que el campo que has dado es $\nabla^{\perp} xy$ una rotación del campo vectorial conservativo $(x,y)$ .
De hecho, un $90^{\circ}$ rotación de grado de cualquier campo vectorial conservativo en $\mathbb{R}^2$ lo hará no conservador.
La superficie correspondiente al campo vectorial $F= (y,-x)$ es continua pero periódica, en espiral a lo largo del $z$ -Eje.
Como ha señalado joriki en los comentarios, el campo vectorial generado por la espiral que has dado es similar al "campo gradiente del ángulo polar" $$ F = \nabla \arctan \left(\frac{y}{x}\right) = \left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right). \tag{1} $$ Si el dominio contiene una curva que serpentea alrededor del origen, entonces no es conservador. En caso contrario, sí es conservador. Como hiciste allí, dejamos que $z$ parametrizarse de forma que encolamos diferentes ramas de $\arg (x+iy)$ juntos, el flujo de gradiente no es conservador. Para un análisis más detallado, puede consultar mi respuesta aquí . A grandes rasgos el resumen es: $$ \text{zero curl} + \text{simply-connectedness of the domain} \implies \text{conservative} \\ \text{gradient} + \text{no singularities in the domain} \implies \text{conservative} $$ Observe que "rizo cero" significa $0$ en todas partes, no como (1), si incluye $\{0\}$ para que el dominio sea simplemente conexo, entonces el rizo es cero excepto este mismo punto.
Por último, volviendo a tu pregunta, el campo no conservativo que encontraste utilizando ese potencial ("espiral") es en realidad un tipo especial entre otros campos no conservativos. Es un gradiente, pero no es conservativo (la integral alrededor de una trayectoria cercana es distinta de cero).
