Encuentra el polinomio tal que $P(1)P(2)P(3)\cdots P(n)=Q(n!)$

Question

Encuentra todos los polinomios $P(x), Q(x)$ y todos los coeficientes son números reales, de tal forma que existan infinitos enteros positivos $n$, tales que $$P(1)P(2)P(3)\cdots P(n)=Q(n!)$$

Answer 1

Como señalaron los comentaristas, $P(x)=Q(x)=x^k$ y $P(x)=Q(x)=-x^k$ son soluciones para cualquier entero no negativo $k$. Mostramos que estas son las únicas soluciones.

Escribimos $P(x) = ax^k + abx^{k-1} + R(x)$ para algunos números reales $a,b$ y un polinomio $R(x)$ de grado a lo sumo $k-2$ (disculpas por la normalización divertida del coeficiente de $x^{k-1}$). Entonces $$\begin{align*} P(1)P(2)\cdots P(n) &= \prod_{x=1}^n \big( ax^k + bx^{k-1} + R(x) \big) \\ &= \prod_{x=1}^n ax^k \prod_{x=1}^n \bigg( 1 + \frac bx \bigg) \prod_{x=1}^n \bigg( 1 + \frac{R(x)}{ax^k(1+b/x)} \bigg). \end{align*}$$ (Omitimos el caso especial cuando uno de los $1+b/x$ es igual a $0$.) El primer producto es simplemente $a^n(n!)^k$. El logaritmo del segundo producto es $$\sum_{x=1}^n \log \bigg( 1 + \frac bx \bigg) = \sum_{x=1}^n \bigg( \frac bx + O\bigg( \frac{b^2}{x^2} \bigg) \bigg) = b\log n + O(1).$$ En otras palabras, existen constantes $c_1$ y $c_2$ para las cuales $$c_1 n^b < \prod_{x=1}^n \bigg( 1 + \frac bx \bigg) < c_2 n^b$$ para todo $n$ (suficientemente grande). De manera similar, el logaritmo del tercer producto es $$\sum_{x=1}^n \log \bigg( 1 + \frac{R(x)}{ax^k(1+b/x)} \bigg) = \sum_{x=1}^n \log \big( 1 + O(x^{-2}) \big) = \sum_{x=1}^n O(x^{-2}) = O(1),$$ por lo que el tercer producto mismo está acotado entre dos constantes. Concluimos que existen constantes $c_3$ y $c_4$ tales que $$c_3 a^n(n!)^k n^b < P(1) P(2) \cdots P(n) < c_4 a^n(n!)^k n^b$$ para todo $n$. (Si $a<0$, entonces esto debe ser interpretado adecuadamente: los límites superior e inferior alternan entre sí.)

Por otro lado, si $Q(x) = d x^\ell +{}$términos de orden inferior, entonces existen constantes $c_5$ y $c_6$ tales que $$c_5 d(n!)^\ell < Q(n!) < c_6 d(n!)^\ell$$ para todo $n$; en particular, $$c_7 \frac{a^n n^b}{d} (n!)^{k-\ell} < \frac{P(1) P(2) \cdots P(n)}{Q(n!)} < c_8 \frac{a^n n^b}{d} (n!)^{k-\ell}$$ para todo $n$. Entonces, si el cociente en medio es igual a $1$ infinitas veces, deducimos a su vez (usando el hecho de que los factoriales son asintóticamente más extremos que los exponenciales, que son asintóticamente más extremos que las potencias) que $k-\ell=0$ y que $|a|=1$ y que $b=0$. En otras palabras, $$P(x) = \pm x^k + R(x) \quad\text{y}\quad Q(x) = dx^k + S(x)$$ donde $S(x)$ tiene un grado como máximo $k-1$.

(quedándose sin tiempo aquí, pasando al modo rápido) En consecuencia, tenemos $$(\pm1)^n \frac{P(1) P(2) \cdots P(n)}{Q(n!)} = \bigg( d + \frac{S(x)}{x^k} \bigg)^{-1} \prod_{x=1}^n \bigg( 1 + \frac{R(x)}{\pm x^k} \bigg).$$ El lado derecho tiende a un límite a medida que $n\to\infty$, y eventualmente es monótono. Por lo tanto, la única forma en que puede ser igual a $1$ infinitas veces es si es idénticamente $1$; esto fuerza a que $d=1$ y $R(x)=S(x)=0$, que es lo que necesitábamos mostrar.