Posibles acordes tocables en una guitarra

Question

Comprobación de la Diversidad de Acordes de Guitarra Fingerstyle

Teniendo en cuenta una guitarra acústica de $20$ trastes y $6$ cuerdas y suponiendo que el rango de digitación (incluyendo las notas digitadas) para una mano promedio es de $4$ trastes en los primeros $8$ trastes, $5$ trastes en la región de los trastes $9-14$ y $6$ trastes en el resto del diapasón, ¿cuántas combinaciones de al menos $3$ notas diferentes se pueden rasguear si ignoramos el barrido y usamos como máximo $4$ dedos para digitación?

Tendremos el peor rango de digitación si nuestros trastes digitados involucran cualquiera de las $3$ regiones prescritas hacia abajo del diapasón (es decir, la región de $8$ trastes, la región de $9-14$ trastes y el resto del diapasón). Supongamos que decides digitizar $12$ en la primera cuerda, entonces, el traste más bajo que puedes digitizar es $9$ ya que digitalizar $8$ requeriría un rango de $5$ trastes mientras que digitalizar $8$ reduce tu rango de trastes a $4$ ya que consideramos el peor rango de trastes en regiones de trastes superpuestos.

En nuestro caso, un acorde se define como una colección de $3$ a $6$ notas distintas rasgueadas juntas. Cada acorde es único. Por ejemplo, digitando $3$ en la sexta cuerda, $2$ en la quinta cuerda, $3$ en la primera cuerda y rasgueando las 6 cuerdas es lo mismo que digitando $3$ en la sexta cuerda, $2$ en la quinta cuerda, $3$ en la segunda cuerda y $3$ en la primera cuerda y rasgueando las 6 cuerdas ya que ambos producirían un acorde de $\text{G}$.

Answer 1

Lo siguiente no es realmente específico para la música de guitarra, pero es un enfoque general que podría ser especializado para la música de guitarra con restricciones adicionales.

Dmitri Tymoczko ha intentado desarrollar una especie de teoría geométrica de los espacios de acordes. Me pareció interesante en la medida en que logró obtener una estructura, aunque no la encontré útil en absoluto cuando se trata de hacer música. Pero estoy seguro de que esto es algo en lo que quieres indagar. Sin embargo, su enfoque no es el único.

De todos modos, mientras intentaba entender sus documentos, comencé a hacer mis propios cálculos para determinar cuántos acordes diferentes de 3, 4, 5,... notas existen. La clave aquí es el lema de Burnside de la teoría de grupos. Permíteme ilustrar el caso de los acordes de 3 notas.

Primero, tenemos que establecer el espacio en el que estamos trabajando. Comenzaremos desde los convencionales 12 tonos occidentales en temperamento igual, pero si deseas hacer música de cuartos de tono o microtonal o usar diferentes temperamentos, puedes adaptar fácilmente mi historia. Cada tono recibirá un número del 0 al 11, trabajaremos módulo 12 ya que el duodécimo tono es simplemente el 0 una octava más alta. Así que esa es una primera simetría que ya está implícita en la definición de nuestro espacio. En la armonía moderna, esto se llama una clase de tono. Ahora, dado que consideramos acordes de 3 tonos, los presentaremos de la siguiente manera

$$\text{CMay}=\{\text{Do,Mi,Sol}\}=\{0,4,7\} \\ \text{Cmen}=\{\text{Do,Mib,Sol}\}=\{0,3,7\} \\ \text{FAy 2da inversión}=\{\text{Do,Fa,La}\}=\{0,5,9\} \\$$

Luego vamos a introducir simetrías adicionales. Consideramos que todos los acordes que se pueden transponer entre sí son el mismo acorde. Por ejemplo

$$\text{FAy}=\{\text{Fa,La,Do}\}=\{5,9,0\}\overset{T}{=}\{5-5,9-5,0-5\}=\{0,4,7\}=\text{CMay} \; .$$

A continuación, también vamos a identificar inversiones, lo que matemáticamente equivale a permutaciones de los elementos

$$\text{FAy 2da inversión}=\{\text{Do,Fa,La}\}=\{0,5,9\}\overset{P}{=}\{5,9,0\}\overset{T}{=}\{0,4,7\}=\text{CMay} \; .$$

Se podría llevar más lejos y agregar simetrías adicionales, por ejemplo

$$\text{Cmen}=\{\text{Do,Mib,Sol}\}=\{0,3,7\}\overset{I}{=}\{7-0,7-3,7-7\}\overset{P}{=}\{0,4,7\}=\text{CMay} \; .$$

Pero dado que esto convierte acordes mayores en menores y viceversa y generalmente se consideran distintos en la armonía convencional, no vamos por ese camino. Algunos podrían argumentar que incluso las inversiones de acordes deberían considerarse por separado debido a sus diferentes funciones, pero por el bien del argumento presente, voy a adherirme a dos simetrías $P$ y $T$.

Ahora, veamos cómo podemos aplicar el lema de Burnside. Nuestro espacio de acordes de 3 tonos es $X$ y es actuado por un grupo $G$ generado por transposiciones $T$ por un lado y permutaciones $P$ por el otro. El lema de Burnside nos dice que

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$$

o en palabras humanas: el número de acordes de 3 tonos hasta las transposiciones y permutaciones se encuentra al sumar para cada elemento de simetría el número de acordes fijos por esa cierta simetría y dividiendo por el número total de simetrías que actúan sobre el espacio. $X/G$ se llama en jerga el conjunto de órbitas. Mientras que $X^g$ es el conjunto de elementos fijos bajo la acción de $g$.

Aplicando esto a nuestro conjunto de acordes de 3 tonos, realmente solo tenemos que mirar lo que sucede bajo las permutaciones ya que las transposiciones nunca pueden fijar elementos. Así que tenemos 6 permutaciones posibles:

$$ \{\text{Id},(12),(13),(23),(123),(132)\} \; .$$

La identidad fija todos los $12^3$ elementos de nuestro espacio. Las tres permutaciones siguientes fijan elementos de la forma $\{a,a,b\},\{a,b,a\}$ y $\{b,a,a\}$ respectivamente, contando cada una $12^2$ elementos fijos. Las dos últimas son más complicadas. Obviamente se fijan elementos de la forma $\{a,a,a\}$. Pero también se fijan elementos de la forma $\{a,a+4,a+8\}$ y $\{a,a+8,a+16\}$. Esto representa un total de $6 \times 12$ elementos. Aplicando el lema de Burnside, la cantidad de acordes de 3 tonos distintos es

$$\frac{12^3+3\times 12^2+6\times 12}{12\times 6}=31 \; .$$

Entre estos 31 acordes hay sin embargo un grupo de acordes que contienen tonos repetidos, 12 para ser precisos. Si dejamos esos 12 fuera, nos quedan 19 acordes. Dejando fuera 9 más que contienen un intervalo de segunda menor nos deja con los siguientes 10 acordes

$$\{\text{Do,Mi,Sol#}\},\{\text{Do,Mi,Sol}\},\{\text{Do,Mib,Sol}\},\{\text{Do,Re,Fa#}\},\{\text{Do,Mi,Lab}\},\{\text{Do,Re,Sol}\},\{\text{Do,Re,Mi}\},\{\text{Do,Mib,Fa}\},\{\text{Do,Mib,Lab}\},\{\text{Do,Re,Fa}\}$$

Los tres primeros acordes son respectivamente el acorde aumentado, el acorde mayor y el acorde menor. El antepenúltimo acorde es el acorde disminuido. Estos son muy comunes en la armonía clásica. Acordes como $\{\text{Do,Re,Sol}\}$ se usan en la armonía cuartal y quintal. Sin embargo, también se entiende como cuarta suspendida en la armonía clásica y de jazz.

Se puede excluir desde el principio las notas repetidas en mi análisis. La secuencia de enteros para el número de acordes que consisten en varias notas distintas se encuentra en OEIS con el número A035495 y continúa de la siguiente manera:

$$1, 1, 6, 19, 43, 66, 80, 66, 43, 19, 6, 1, 1$$

Finalmente, una pequeña "imagen sucia" que hice para ilustrar los 10 acordes y cómo puedes moverte por movimientos paso a paso entre ellos, es decir, alterando solo un tono medio paso arriba o abajo.