Hacer esquemas nos ayudan a entender curvas elípticas?

Question

Estoy leyendo Silverman y Tate "de Puntos Racionales en Curvas Elípticas" y estoy disfrutando mucho de aprender acerca de estos objetos, y, en particular, haciendo un poco de teoría de los números. Es diferente a lo que he estado concentrando en la recientemente que ha sido el aprendizaje de la geometría algebraica a partir de un esquema de punto de vista (principalmente sólo para mi propio interés, sino también para mi tesis de maestría el próximo año, en el que voy a desarrollar la teoría básica y, a continuación, aplicar a los pocos que aún indecisos problemas).

Realmente me gustaría incorporar curvas elípticas en este proyecto, buscando en sus geométricas y posiblemente propiedades aritméticas utilizando esta maquinaria moderna. Sin embargo con mi actual conocimiento muy básico de curvas elípticas parece que todo el poder (y la elegancia!) de esquemas, categorías, etc podría ser innecesario, a menos que miramos a) situaciones tales como curvas elípticas más general de los anillos; b) módulos de espacios de curvas; o c) abelian variedades. Mientras que todos estos son agradables temas que me preocupan son un poco demasiado lejos de la realidad el estudio de curvas elípticas!

Así que mi pregunta es: hay alguna "interesante" geométrico/aritmética información sobre curvas elípticas sobre los campos con algún número de la teoría de la relación, que pueden ser estudiados de manera más efectiva el uso de la moderna geometría algebraica? O sería mejor para el estudio de curvas elípticas por separado en la primera y encontrar otra aplicación con la que mejor demuestra el uso de la teoría que desarrollo en la primera parte de la tesis? Muchas gracias por adelantado, y yo daría la bienvenida a cualquier lectura de las recomendaciones.

Answer 1

Esquemas de jugar un papel enorme en toda la moderna teoría de curvas elípticas, y lo han hecho desde Mazur y Tate demostró su teorema que ninguna de curva elíptica sobre $\mathbb Q$ puede tener una de 13 de torsión punto definido sobre $\mathbb Q$.

Alguna explicación adicional, usted puede buscar en esta respuesta. Pero ten en cuenta que los teoremas sobre la clasificación de torsión, mientras fantástico, son sólo una pequeña parte de la teoría de curvas elípticas, y una pequeña parte de cómo los esquemas están involucrados. Uno de los más importantes teoremas sobre curvas elípticas es la modularidad teorema, demostrado por Wiles, Taylor, et al. al. hace veinte años atrás, lo que implica FLT. Estos argumentos también dependen en gran medida moderna de la geometría algebraica.

También, la prueba de la Sato--Tate conjetura.

También, todos los avances actuales en el BSD conjetura.

El elemento subyacente es el de la teoría de curvas elípticas es uno de los temas centrales de la moderna teoría de números, y los métodos de esquema de la teoría de alg. geom. están entre las principales herramientas de la moderna teoría de números. Así que sin duda se aplica a la teoría de curvas elípticas

---

Por otro lado, no resulta tan fácil de sintetizar la lectura en la aritmética de curvas elípticas y su lectura del esquema de la teoría. Por ejemplo, incluso Silverman (primera) libro, que es un poco más avanzado que el de Silverman--Tate, no utilizar esquemas. Algunos de los argumentos pueden ser aclaradas mediante el uso de esquemas, pero se necesita un poco de sofisticación a ver cómo hacer esto, o incluso donde esta aclaración es posible o útil.

Hartshorne tiene una discusión de curvas elípticas en Ch. IV, pero que no toque en el número teórico de los aspectos de la teoría; de hecho, Hartshorne del libro no lo hace en absoluto claro cómo esquema teórico de las técnicas para ser aplicadas en la teoría de números.

Con mis propios alumnos, un ejercicio que yo les doy para obtener de ellos para ver cómo hacer el esquema de la teoría de los argumentos y el uso de ellos para el estudio de curvas elípticas es la siguiente:

Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb Q$ con buena o multiplicativo de reducción en $p$; demostrar que la reducción de mod $p$ mapa de la endomorphisms de $E$ $\overline{\mathbb Q}$ a la endomorphisms de la reducción de $E$ mod $p$ $\overline{\mathbb F}$ es inyectiva.

La prueba no es tan difícil, pero requiere una cierta cantidad de sofisticación a descubrir, si no has visto este tipo de cosas antes.

---

Finalmente:

Ninguno de los resultados de torsión en curvas elípticas sobre $\mathbb Q$, o modularidad, o Sato--Tate, o BSD, serán accesibles a usted en el marco de tiempo de sus amos (me imagino); cada uno de ellos requiere de una enorme cantidad de tiempo y esfuerzo para aprender (un fuerte Tel. D. estudiante de trabajo en curvas elípticas general podrían aprender algunos aspectos de uno de ellos sobre la totalidad de su tiempo como estudiante). No me refiero a ser desalentador --- yo solo quiero decir que se necesita tiempo, paciencia, y también un buen consejero, si usted desea aprender cómo esquemas se aplican a la teoría de curvas elípticas, o cualquier otra parte de la moderna teoría de números.