La evaluación de $\int_{\mathbb{R}}\frac{\exp(-x^2)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$

Question

Me gustaría evaluar en forma cerrada de la integral $$\int_{\mathbb{R}}\frac{\exp(-x^2)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$$

He intentado varios métodos :

• integración por partes
• algunos cambios de variables ($y=x^2$, $x=\tan$)
• residuos de cálculo (pero el factor de $\exp(-x^2)$ prohibir a enviar el contorno hasta el infinito)
• desarrollando $\exp(-x^2)$ o $\frac{1}{1+x^2} $ en el poder de la serie (pero en ambos casos uno no puede de cambio de la suma y la integral)

¿Alguien sabe si esta integral es conocido, o cómo evaluar ? Al menos me gustaría encontrar una expresión exacta.

La razón para mí para creer que una forma cerrada que existe es que esta integral se levantó en un problema de probabilidad, donde me esperan - si no he hecho ningún error previamente una muy simple expresión.

Answer 1

Usando el teorema de Parseval, obtenemos $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-x^2}}{1+x^2}dx= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \sqrt{\pi}e^{-\xi^2/4}\pi e^{-|\xi|}\,d\xi= \sqrt{\pi}\int_0^\infty e^{-\xi^2/4-\xi}\,d\xi= $$ $$ e\sqrt{\pi}\int_0^\infty e^{-(\xi^2+4\xi+4)/4}\,d\xi=\left[u=\frac{\xi+2}{2}\right]= 2e\sqrt{\pi}\int_1^\infty e^{-u^2}du= e\pi(1-\operatorname{fer}(1)). $$