yoneda-incrustación vs doble espacio vectorial

Question

He hecho la siguiente observación: vamos a V un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con un producto interior $\langle , \rangle$. entonces no es un "natural contravariante" inyectiva mapa de $V \to \hom(V,\mathbb{R})$. si aplicamos esto dos veces, obtenemos un "natural covariante" inyectiva mapa de $V \to \hom(\hom(V,\mathbb{R}),\mathbb{R}), v \mapsto (\phi \mapsto \phi(v))$. pero pasan las mismas cosas que en la categoría de teoría: vamos a $C$ ser una categoría (que supongo que serán localmente-pequeño), a continuación, $C \to \hom(C,Set), x \mapsto \hom(x,-)$ natural contravariante totalmente fieles functor y la aplicación de esta dos veces rendimientos (hasta el isomorfismo natural) natural functor covariante $C \to \hom(\hom(C,Set),Set), x \mapsto (F \mapsto F(x))$ (yoneda-lema).

entonces, ¿cómo podemos unificar estos dos fenómenos? tal vez podamos hacer $V$ a un enriquecido categoría de más de $\mathbb{R}$ y la esperanza de que el yoneda-lema para simétrica cerrada monoidal categorías es el común de la generalización? ¿cuál es la estructura correcta en $\mathbb{R}$?

Answer 1

No veo la necesidad de tratar de hacer espacios vectoriales en categorías. Sólo quiero decir que en cada caso se ha cerrado monoidal simétrica categoría (respectivamente Vect o Gato), un mapa f : X ⊗ Y → Z para algunos objetos X, Y, Z (respectivamente $\langle-,-\rangle$ : V ⊗ V → R y Hom : C^op × C → Set) y estamos formando el mapa asociado X → hom(Y,Z) (donde hom denota el interior hom functor). El doble doble de la construcción se obtiene mediante el establecimiento de Y = hom(X,Z) y dejar que f sea la evaluación del mapa; no depende de nada pero X y Z.

Dicho esto, existe una gran analogía entre Vect y el Gato, donde R y el Conjunto de desempeñar funciones paralelas: pero lo que corresponde a la construcción de envío de C a Hom(C^op, Establecer) es el vector libre del espacio functor de Conjunto a Vect. La analogía va algo como esto. (Estoy omitiendo algunas de las condiciones técnicas de comodidad.)

sets                categories
vector spaces       cocomplete categories (and colimit-preserving functors)
additive structure  colimits
free v.s. on S      category of presheaves on C
the ground field    Set
(comm.) algebras    cocomplete closed (symmetric) monoidal categories
A-modules           cocomplete V-enriched categories
etc.

No estoy afirmando que existe una manera de tomar un objeto en una columna y obtener un objeto correspondiente en la otra columna (aunque en algunas circunstancias, que puede ser posible): en lugar de que es útil el uso de la columna de la izquierda como una forma de pensar acerca de la columna de la derecha.

Ver este nLab página para una introducción a estas ideas.

Answer 2

Hay muchas cosas diferentes que Martin podría haber tenido en mente en hacer esta pregunta, pero la respuesta obvia requiere de menor categoría de la teoría y no más.

El funcionamiento básico es ${-}\to S$ para algunos fijos "dualising" objeto en algunos cartesiana cerrada (o, más en general monoidal cerrado) de la categoría.

Esta operación es parte de una mónada, de la que Martin natural del mapa es la unidad.