Encontrar todas las funciones $f(f(f(...(f(x_1,x_2),x_3),...),x_{2016}))=x_1+x_2+...+x_{2016}$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación funcional:

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$ tal que para todos los $\left \{x_1,x_2,...,x_{2016} \right \}\subset \mathbb R$: $$f(f(f(...(f(x_1,x_2),x_3),...),x_{2016}))=x_1+x_2+...+x_{2016}$$

Mi trabajo hasta el momento:

$f(x,y)=f(0+0+..+0+x,y)$

$f(f(f(...(f(0,0),0),...),x),y)=0+0+...+0+x+y=x+y$

Necesito ayuda aquí.

Answer 1

Considerando el exterior de la mayoría de la iteración (la con $x_{2016}$), es obvio que tenemos $f(x,y) = g(x)+y$ para algunos la función $g$, así:

$\begin{align*}x_1+x_2+\ldots+x_{2015}+x_{2016}&= f(f(f(\ldots f(x_1,x_2),\ldots,x_{2016}) \\ &= g(g(\ldots g(x_1)+x_2 \ldots )+x_{2015})+x_{2016} \\ \implies x_1+x_2+\ldots +x_{2015}\qquad \quad\,&=g(g(\ldots g(x_1)+x_2 \ldots )+x_{2015}) \end{align*}$

Establecimiento $x_1 = \dots = x_{2014} =0$ $c:=g(\ldots g(x_1)+x_2 \ldots ) = g(\ldots g(0)+0 \ldots )$ tenemos

$y = g(c+y)\;\forall y$

Nos sustituto $y$ $t-c$ y obtener

$t-c = g(t)\;\forall t \qquad (*)$

Pluggin esta ecuación de vuelta en los resultados originales en

$\begin{align*}x_1+x_2+\ldots+x_{2016} &= f(f(f(\ldots f(x_1,x_2),\ldots,x_{2016}) \\ &\overset{(*)}{=} (x_1-c)+(x_2-c)+\ldots+(x_{2015}-c)+x_{2016} \\ &= x_1+x_2+\ldots +x_{2016} - 2015c\end{align*}$

Por lo tanto,$c=0$$g(t) = t$. Y esto implica $f(x,y)=x+y \;\forall x,y$.

Answer 2

Así que supongamos $f$ es una función real de una

$$f(f(f(\ldots f(f(x_1,x_2),x_3)\ldots),x_{2016})= x_1+x_2+\ldots + x_{2016} \tag{1}$$

Aplicamos

$$f(.,x_{2017}) \tag{2}$$

en el LHS y RHS de $(1)$ y obtenemos

$$f( f(f(f(\ldots f(f(x_1,x_2),x_3)\ldots),x_{2016}) ,x_{2017}) = f(x_1+x_2+\ldots + x_{2016},x_{2017}) \tag{3}$$

Si cambiamos los nombres de las variables en $(1)$ , $x_{i}$ por $x_{i+1}$, obtenemos

$$f(f(f(\ldots f(f(x_2,x_3),x_4)\ldots),x_{2017})= x_2+x_3+\ldots + x_{2017} \tag{4}$$

En $(4)$ ahora sustituimos $x_2$ $f(x_1,x_2)$ y obtener

$$f(f(f(\ldots f(f( f(x_1,x_2) ,x_3),x_4)\ldots),x_{2017})= f(x_1,x_2) +x_3+\ldots + x_{2017} \tag{5}$$

El lado izquierdo de $(3)$ $(5)$ son los mismos. De modo que el lado derecho de la $(3)$ $(5)$ deben ser iguales y tenemos

$$f(x_1+x_2+\ldots + x_{2016},x_{2017}) = f(x_1,x_2) +x_3+\ldots + x_{2017} \tag{6}$$

De aquí partimos $x_1=0$, $x_2=0$, ..., $x_{2015}=0$ y obtener

$$f(x_{2016},x_{2017})=f(0,0)+x_{2016}+x_{2017} \tag{7}$$

Podemos usar $(7)$ para evaluar la función anidada expresión de la LHS de $(1)$. Usted puede comenzar con el exterior o con la expresión interna. Finalmente obtendrá

$$f( f(f(f(\ldots f(f(x_1,x_2),x_3)\ldots),x_{2016}) ,x_{2017})= 2015 f(0,0)+x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2016} \tag{8}$$

La RHS de $(1)$ $(8)$ son iguales, por lo ist debe ser

$$2015f(0,0)=0 \tag{9}$$

De $(9)$ $(7)$ vemos que

$$f(x,y)=x+y \tag{10}$$

como era de esperar.