Matemáticas Tema GRE 1268 Pregunta 55

Question

Si $a$ $b$ son números positivos, ¿cuál es el valor de $\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{ax}-e^{bx}}{(1+e^{ax})(1+e^{bx})}dx$.

R: $0$

B: $1$

C: $a-b$

D: $(a-b)\log 2$

E: $\frac{a-b}{ab}\log 2$

Yo realmente no veo cómo comenzar con este, yo no soy tan grande con las integrales.

Answer 1

Un enfoque indirecto:

Escribir

$$f(a,b) = \int_0^\infty \frac{e^{ax}-e^{bx}}{(1+e^{ax})(1+e^{bx})}dx$$

A continuación, el cambio de variables por $x = ku$, para algunos positivos $k$,

$$f(a,b) = k \int_0^\infty \frac{e^{kau}-e^{kbu}}{(1+e^{kau})(1+e^{kbu})}du = k\, f(ka,kb) $$

La única$^*$ respuesta que obedece a la relación $$f(a,b) = k \,f(ka,kb)$$ es la Opción E.

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$^*$Nota: Como se señaló en los comentarios, la Opción de no seguir esta relación así, pero es fácil de descartar otros motivos.

Para desempaquetar mi pensamiento original:

• La opción a no es posible como podemos hacer que el integrando positiva: para $a > b$, $f(a,b) > 0$
• La opción B no es posible como $f(a,b)$ no puede ser independiente de $a$$b$, por ejemplo, sin calcular explícitamente, parece claro que $\partial_a f(a,b) \neq 0$.
• Ahora estamos a las Opciones C, D o E. Ya que esta es una pregunta de un tiempo de prueba y los matemáticos son despiadadamente eficientes (aka perezoso), no quiero para evaluar la integral. En su lugar, puede encontrar rápidamente algún tipo de escala argumento para descartar las Opciones C y D? Mi "miedo" es que $f(ka,kb) = k\,f(a,b)$, con lo cual en lugar de descartar la Opción de Correo y, a continuación, voy a estar pegado tener que calcular la integral con el fin de diferenciar entre C y D.
• Pero no! En lugar de $f(a,b) = k\,f(ka,kb)$. Buenas!

Answer 2

La integral se está considerando, y se evalúa de la siguiente. \begin{align} I &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{(1+e^{ax})(1+e^{bx})}dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + e^{bx}} - \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + e^{ax}} \\ &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) \, \int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t(1+t)} \mbox{ where %#%#% in the first and %#%#% in the second integral } \\ &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right) \, \lim_{p \to \infty} \, \int_{1}^{p} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) \, dt \\ &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right) \, \lim_{p \to \infty} \, \left[ \ln(t) - \ln(1+t) \right]_{1}^{p} \\ &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right) \, \lim_{p \to \infty} \left[ \ln\left( \frac{p}{1 + p}\right) + \ln 2 \right] \\ &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right) \, \lim_{p \to \infty} \left[ \ln\left( \frac{1}{1 + \frac{1}{p}}\right) + \ln 2 \right] \\ &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) \, \ln 2 \end{align} Esto es válido si $t = e^{bx}$.

Answer 3

Cuento de $a = 1$ y deje $b\to 0^+.$ En el límite de obtener

$$\int_0^\infty\frac{e^x-1}{(1+e^x)2}\,dx.$$

Que la integral es igual a $\infty$ porque el integrando tiene un resultado positivo en el límite de lo $\infty.$ La única respuesta que se ajusta a este fenómeno es la E.

Answer 4

Una ligera variación de la aceptación de la solución comienza en la línea $3$:

\begin{align} I &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{(1+e^{ax})(1+e^{bx})}dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + e^{bx}} - \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + e^{ax}} \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-bx} dx}{(1 + e^{bx})e^{-bx}} - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}dx}{(1 + e^{ax})e^{-ax}} \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-bx} dx}{(1 + e^{-bx})} - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}dx}{(1 + e^{-ax})} \\ \end{align}

Para la integral que involucra $b$, vamos a $u=1+e^{-bx}$, de modo que $\frac{-1}{b}du=e^{-bx}dx$. A continuación,$x=0 \implies u=2$, e $x \to \infty \implies u \to 1^+$. Con un resultado similar para la integral que involucra $a$, y cambiando el orden de integración, nos encontramos con

\begin{align} I &= \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) \lim _{\epsilon \to 0^+}\int_{1+\epsilon}^{2}\frac{1}{u}du = \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) \ln 2 \ . \\ \end{align}

Answer 5

Claramente (A) y (B) son incorrectas. Observando $$\lim_{a\to\infty} f(a,b) = \lim_{a\to\infty}\int_0^\infty \frac{e^{ax}-e^{bx}}{(1+e^{ax})(1+e^{bx})}dx=\int_0^\infty \frac{1}{1+e^{bx}}dx<\infty,$$ tenemos que elegir (E).